Теорема Гёделя. И её поэтическое преодоление - Александр Батожок

Теорема Гёделя

И её поэтическое преодоление

Александр Батожок

Дизайнер обложки Анна Мария Батожок

Иллюстрации Анна Мария Батожок

Рецензент Борис Григорин

Одноклассник Михаил Строганов

Логик Александр Шум

почта: bat52@mail.ru; batalp52@gmail.com

© Александр Батожок, 2024

© Анна Мария Батожок, дизайн обложки, 2024

ISBN 978-5-0062-4983-7

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Курт Гёдель и Альберт Эйнштейн

Среди ученых, находившихся под влиянием Курта Гёделя1, был его друг Альберт Эйнштейн. С 1940 по 1955 они были коллегами в институте прикладных исследований в Принстоне. Основатель теории игр Оскар Моргенштерн свидетельствует, что когда Эйнштейн потерял энтузиазм к своей собственной работе, он приходил на работу для того, чтобы «иметь привилегию идти домой вместе с Куртом Гёделем». Один из ассистентов Эйнштейна в Принстоне вспоминал: «Единственным человеком, который был в течение последних лет лучшим другом Эйнштейна, и в некотором смысле странным образом похожим на него, был Курт Гёдель, величайший логик.

Курт Гёдель, доказавший в 1930 году Теорему о неполноте

Они были весьма различны почти во всем  Эйнштейн общительный, счастливый, улыбчивый и здравомыслящий, а Гёдель предельно важный, очень серьезный, совершенно одинокий и недоверчивый к здравому смыслу как средству достижения истины. Но они имели общее качество: оба шли прямо и искренне к вопросам, лежащим в самом центре вещей».

Александр Шум «О Теореме о неполноте»

(предисловие к первому изданию)

Человек хочет знать и уметь как можно больше, чтобы быть как можно более свободным. Природа выставляет ему границы, но человек, несмотря ни на что, ищет и находит возможности эти границы преодолевать. Громадные просторы океанов не остановили человека в стремлении достичь дальних земель. Притяжение Земли не остановило его в стремлении летать. Бездна холодного космоса не остановила человека в стремлении побывать на других планетах. Есть, однако, такие границы, которые не только ещё не преодолены сегодня, но кажутся непреодолимыми вообще. Такова, например, граница увеличения скорости  невозможно двигаться со скоростью большей скорости света. Такое ограничение устанавливает теория относительности Эйнштейна. Это обстоятельство, так же как и имя Альберта Эйнштейна, сегодня известно каждому грамотному читателю. Между тем, столь же важное другое принципиальное ограничение и имя открывшего его учёного имеют незаслуженно меньшую известность. В 1930 году Курт Гёдель доказал теорему, сегодня известную как Теорема о неполноте, которая навсегда изменила понимание математики. Эта теорема утверждает, что в любой формальной системе, содержащей арифметику, найдётся истинное, но недоказуемое предложение. Это означает, что формализовать математику в целом так, чтобы все её верные теоремы имели формальные доказательства, невозможно.

Как преодолеть ту границу, преодолеть которую невозможно?

В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе Давид Гильберт2 формулирует знаменитый список 23 нерешённых проблем, а несколько позже предлагает программу аксиоматического обоснования математики. Программа Гильберта предусматривала обоснование всей математики путём её полной формализации. В попытках выполнить эту программу и была найдена Гёделем Теорема о неполноте  теорема, которая показала, что программа Гильберта невыполнима. Этот результат обескуражил, но не отменил энтузиазма математиков, которые равнялись на девиз Гильберта: «Мы должны знать  мы будем знать!» Список 23 проблем Гильберта на протяжении XX века служил направляющим указателем приложения их усилий. Не всегда эти проблемы имели такое решение, о котором думал сам Гильберт. Так, например, десятая проблема Гильберта требовала найти алгоритм, определяющий, имеет ли произвольно взятое диофантово уравнение решение в целых числах. Решение этой проблемы, найденное в 1970 году Юрием Матиясевичем, оказалось следующим: такого алгоритма не существует. Отметим здесь, что автор этого предисловия, так же как и автор стихов данного сборника, являются выпускниками той же школы, которую заканчивал Юрий Матиясевич (это физико-математическая школа-интернат 183 при МГУ, которая ныне носит имя Андрея Николаевича Колмогорова).

Теорема Гёделя о неполноте отчётливо указала на то, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать её, и интуицию нельзя исключать из пределов царства математики.

При всём этом философское значение теоремы о неполноте и второй теоремы Гёделя, устанавливающей невозможность доказать непротиворечивость теории средствами самой этой теории, выходит далеко за рамки чистой математики. Согласно позитивистской философии науки любая физическая теория является математической моделью, а это значит, что она с необходимостью должна быть представлена на языке математики. Мы и наши модели являемся частью вселенной, которую описываем, и в своих описаниях мы также не сможем выбраться за те границы, которые устанавливают теоремы Гёделя.

И всё-таки, как преодолеть ту границу, преодолеть которую невозможно? Читатель может попробовать увидеть перспективы поиска ответа на этот вопрос в новом сборнике стихов Александра Батожка, который составили стихотворения, написанные в течение последних двух лет.

Отметим, что «Перспективы преодоления Теоремы Гёделя» это седьмая книга поэта, выпущенная издательством «Волшебная лампа»4. Некоторые стихотворения из неё были ранее напечатаны в книге Анны Марии «ФИЛО-СОФИЯ в графике и цвете»5, выпущенной в 2017 году изд. «Издательские решения».

© Александр Шум, математик-логик,

доцент кафедры высшей математики

Тверского технического университета.

март 2018, Тверь

Михаил Строганов «Математика  это поэзия»

Мой школьный приятель Александр Батожок (мы учились в одном классе в городе, который назывался Калинином, пока он не перешел в математическую школу при МГУ) периодически исчезает и потом снова (периодически) появляется в моей жизни, наверное, для того, чтобы напомнить мне, человеку, который профессионально занимается литературой, что и сейчас еще можно видеть мир и человека по-новому и облекать это свое видение в необычные слова и образы.

Мы расстались с ним в тот момент, когда на мою долю остались школьные представления о понятности и прозрачности царства натуральных чисел (школьная такая арифметика), а ему стало открываться знание о невозможности доказать или опровергнуть непротиворечивость арифметики с помощью простых (сводимых к конечным, финитным понятиям) средств. Наши школьные годы прошли под споры о «физиках» и «лириках», а потом оказалось, что «физик» Батожок очень даже «лирик».

С возрастом ощущение новизны утрачивается. Всё уже было, всё проходит, и поэтому  зачем? Батожок врывается в мою жизнь, отвлекает меня от моей срочной литературной работы, нарушает привычный, устоявшийся ритм  для того, чтобы я читал это и удивлялся:

Я никогда не думал, что Саша  поэт. И узнал об этом в общем-то поздно. И мне, насколько я понимаю задним числом, было трудно смириться с тем, что он поэт. Но я не могу, не имею права не признать того, что поэзия в нем и в его сочинениях днюет и ночует, даже если в каких-то строчках я вижу погрешности против построения, против смысла. Бог с ними, с ошибками. Он упрямый и не юный. И учить его  только портить. Да и почему я должен его учить? Он хорош такой, какой есть.