На пути своего развития математика периодически переживает переломные моменты, и эти кризисы всякий раз вынуждают мыслителей открывать все новые и новые горизонты. Стремление ко все большей степени абстракции и повышению строгости математических рассуждений неминуемо привело к размышлениям об основах самой математики и логических законах, на которые она опирается. Однако именно в логике, как известно еще со времен Зенона Элейского, таятся парадоксы - неразрешимые на первый (и даже на второй) взгляд утверждения, которые, с одной стороны, грозят разрушить многие стройные теории, а с другой - дают толчок их новому осмыслению.
Имена Давида Гильберта, Бертрана Рассела, Курта Гёделя, Алана Тьюринга ассоциируются именно с рождением совершенно новых точек зрения на, казалось бы, хорошо изученные явления. Так давайте же повторим удивительный путь, которым прошли эти ученые, выстраивая новый фундамент математики.
Содержание:
Предисловие 1
Глава 1 - Аксиоматический метод 1
Глава 2 - Парадоксы 6
Глава 3 - Программа Гильберта 11
Глава 4 - Теоремы Гёделя 15
Глава 5 - Машины Тьюринга 22
Глава 6 - Хорошо кончается то, что не кончается 27
Библиография 32
Примечания 33
Хавьер Фресан
"Мир математики"
№ 22
" Сон разума
Математическая логика и ее парадоксы"
Посвящается Хосе Антонио Паскуалю и Розе Наварро Дюран
Предисловие
Супруги спорят между собой: "Ты всегда мне перечишь", - говорит жена. "Это не так", - возражает муж. "Видишь? Ты сам же это подтверждаешь", - снова критикует его жена. "Милая, ты права, я всего лишь тебе перечу", - признает муж в попытках положить конец спору. "Вот! Ты сам в этом признался!" - кричит жена и хлопает дверью. От подобных сцен не застрахован ни один, даже самый счастливый брак. Если бы философ и математик Бертран Рассел никогда не переживал подобные моменты, он бы не женился четыре раза. И все же его семейные ссоры, должно быть, завершались совершенно не так, как у других людей: после фразы "Ты сам же это подтверждаешь" Рассел, должно быть, помолчал несколько секунд и, сказав: "Да, дорогая, это очень интересно", закрылся в своем кабинете.
Зачем? Чтобы подумать об утверждениях, которые описывают сами себя, об истинном и ложном и осознать парадокс, который ставил под сомнение то, что математика последних двух тысяч лет является завершенным воплощением "сна разума".
Парадокс Рассела - один из главных действующих лиц этой книги, однако сначала мы расскажем о том, как открытие неевклидовой геометрии радикально изменило аксиоматический метод, и о том, что противоречие, положившее конец "счастливым и спокойным будням" Рассела, берет начало в традиции, восходящей, по меньшей мере, к Эпимениду Критскому. Парадокс Рассела был бы обычной математической диковинкой, если бы он не породил множество новых вопросов. Сначала мы поговорим о решении этого парадокса, которое предложил Давид Гильберт - один из умнейших людей своего времени. В течение 30 лет он сохранял уверенность, что в один прекрасный день математика навсегда освободится от парадоксов. Это же хотел доказать и юный Курт Гедель, однако он обнаружил, что в арифметике существуют истинные высказывания, которые невозможно доказать.
С того момента как Гёдель объявил о своем открытии на конференции в Кёнигсберге в сентябре 1930 года, его теоремы о неполноте продолжают удивлять специалистов в точных и гуманитарных науках. Некоторые сочли теоремы Гёделя знаком поражения разума, хотя преимущество в этой битве изначально было на его стороне, другие видели в них неоспоримое доказательство превосходства человека над машинами. Однако лишь те, кто в полной мере понял суть статей Гёделя, смогли вывести логику на новый уровень. Гениальный Алан Тьюринг - человек, взломавший дьявольские шифры нацистов, смог создать первые компьютеры, дав теоремам о неполноте новое толкование. Обо всем этом и о многом другом пойдет речь в этой книге.
Мы решили не ограничиваться нулями и единицами машин Тьюринга, а попытались сделать еще один шаг вперед и описать множество оттенков одного из последних "снов разума" - нечеткой логики.
Я хочу поблагодарить редакцию издательской компании RBA за предложение написать такую книгу. Именно слова "изложить популярным языком", упомянутые в одном из писем редактора, побудили меня начать каждую главу с небольшой художественной зарисовки. Без историй моей подруги Лауры Касильес, этой Шахерезады XXI века, я никогда не смог бы связать нечеткую логику и десерт в японском ресторане. Эпиграф к пятой главе родился благодаря Патрисии Фернандес де Лис, очарованной личностью Алана Тьюринга. Подробные комментарии Хесуса Фресана, Давида Гарсеса, Мигеля Эрнаиса, Виктории Лей Вега де Сеоане, Хавьера Мартинеса и Лус Рельо помогли мне существенно улучшить книгу.
Также я благодарен Марии Агирре Рокеро, Луису Аскарате, Ноэлю Гарридо, Хено Галарса, Марии Анхелес Леаль, Карлосу Мадриду, Хосе Марии Матеос, Гильермо Рей, Роберто Рубио, Марии Хосе Солер, Лукасу Санчесу и Микелю Тамайо за ценный вклад, который они внесли в создание этой книги.
Глава 1
Аксиоматический метод
Со времен греков говорить "математика" - значит говорить "доказательство".
Николя Бурбаки
Энтузиазм, с которым адвокат Тауринус разорвал конверт, не теряя времени на поиски ножа, сменялся разочарованием по мере того, как он строчка за строчкой читал убористо исписанные две страницы. В этом письме, полученном одним ноябрьским утром 1824 года, содержался ответ Карла Фридриха Гаусса на заявление об открытии чрезвычайной важности - доказательстве пятого постулата Евклида.
К тому времени не осталось такого раздела физики и математики, куда Гаусс, которому исполнилось почти пятьдесят, не внес бы свой вклад, за что получил титул princeps mathematicorum - "король математиков". Однако ни в одной из его работ не был затронут важнейший вопрос того времени: верен ли пятый постулат? Можно ли через точку, не лежащую на данной прямой, провести одну и только одну прямую, параллельную данной? Ответ на этот вопрос в некотором роде позволил бы понять, какую форму имеет наш мир.
История Евклида и его труда, "Начал", где он изложил свои идеи, восходит к 300 году до н. э. Именно тогда этот древнегреческий математик, о котором нам почти ничего не известно, составил учебник по геометрии, где систематизировал все знания, которые до этого из уст в уста передавались пифагорейцами и учениками Платона. В то время как над входом в Академию Платона можно было прочесть фразу "Да не войдет сюда не знающий геометрии", "Начала" Евклида были предназначены для неподготовленного читателя и помогали понять науку о формах и фигурах с помощью простейших формулировок. Чтобы сделать свой труд более понятным и одновременно подчеркнуть четкость и строгость геометрии, Евклид начал изложение с ряда определений и аксиом, из которых, запасясь терпением, логически можно было вывести любое из сотен предложений, записанных в книге. Возможно, создание никакого другого учебника не имело столь радикальных последствий для развития всей человеческой мысли на протяжении последующих двух тысяч лет.
Евклид на картине Рафаэля "Афинская школа". Греческий математик изображен в окружении учеников, с циркулем в руках.
В словарях аксиома определяется как истина, не требующая доказательства ввиду своей очевидности. В этом смысле аксиомы являются выводами, к которым без особых усилий может прийти любой человек, даже далекий от цивилизации. Евклид проводил различие между общими утверждениями и постулатами: в то время как аксиомы вида "равные одному и тому же равны и между собой" применимы как к правильным многоугольникам, так и к богам, постулаты являются исключительно частью геометрии. Александрийскому мудрецу хватило пяти постулатов, на которые опирались "Начала". Первые три постулата гласили, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой и что из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. Четвертый постулат гласил, что все прямые углы равны между собой, а согласно пятому, в размышлениях над которым Тауринус провел много месяцев, если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.