Ну, пока достаточно. Теперь мы видим ряд каких-то чисел, которые возрастают, но не так плавно, как ряд натуральных чисел. Если между двумя последовательными числами натурального ряда разность постоянно равна единице, то в этом, пока непонятном, ряду разность между соседними числами постоянно увеличивается. Давайте выпишем эти разницы.
Один минус ноль равно одному.
Три минус один равно двум.
Шесть минус три равно трем.
Десять минус шесть равно четырем.
Пятнадцать минус десять равно пяти.
Уже совершенно ясно, что получается ряд натуральных чисел!
Если любое число из натурального ряда является суммой того количества единичек, которое совпадает с порядковым номером этого числа в ряду, то, вполне возможно, что любое число из нашего, пока непонятного, ряда является накопительной суммой натуральных чисел до порядкового номера этого числа. Давайте сразу это проверим!
Один плюс два равно трем.
Один плюс два плюс три равно шести.
Один плюс два плюс три плюс четыре равно десяти.
Один плюс два плюс три плюс четыре плюс пять равно пятнадцати.
Ура! Наши предположения оказались верными!
Теперь, ради забавы вспомним, что многие жители западной части нашей планеты панически боятся числа шестьсот шестьдесят шесть. В чем же причина такого необъяснимого страха? Почему они не боятся, например, числа сто одиннадцать или девятьсот девяносто девять? Дело в том, что число шестьсот шестьдесят шесть — это сумма натуральных чисел от одного до тридцати шести. А тридцать шесть — это максимальный номер на рулетке, в которую так любят играть «прожигатели жизни». Тупость этих, иначе не скажешь, олухов, заключается в том, что они боятся обыкновенного безобидного числа, а вот в азартные игры, которые, всем без исключения, приносят только несчастья, с бараньим упорством, продолжают играть!
Чтобы проверить, что число шестьсот шестьдесят шесть является суммой чисел от одного до тридцати шести, вовсе не обязательно складывать все эти числа, как, непременно, но очень быстро, сделал бы компьютерный процессор, можно умножить число тридцать шесть на следующее число, то есть тридцать семь, и разделить результат на два. К слову число тридцать семь, а точнее утроенное число тридцать семь является основанием всех трехзначных чисел с одинаковыми цифрами.
Итак, мы нашли правило образования ряда накопительных сумм натуральных чисел. Но зачем нам это? Как мы можем применить этот ряд на практике? Дело в том, что накопительной суммой натуральных чисел определяется количество возможных попарных сочетаний из некоторого набора чисел. Это звучит достаточно витиевато, поэтому лучше привести пример.
Представьте, что у вас есть три тюбика с красками: красной, желтой, синей. Нужно узнать, сколько смешанных цветов мы получим, смешивая краски только по две, и только пополам? На этот вопрос мы легко дадим ответ перебирая возможные варианты. Красный с желтым. Желтый с синим. Синий с красным. Всего лишь три варианта. Результатами станут оранжевый, зеленый и фиолетовый цвета. Таким образом в радуге вовсе не семь, а шесть цветов! Три основных и три смешанных. Как же так? Ведь нам всегда говорили, что в радуге семь цветов. Мы даже учили поговорку «каждый охотник желает знать, где сидит фазан», чтобы выучить последовательность: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый. Дело в том, что описавший спектральное разложение белого света ученый Исаак Ньютон был весьма склонен к мистике, и считал число семь магическим. Поэтому и слукавил, назвав голубой и синий двумя разными цветами. А последующие ученые олухи не посмели перечить научному авторитету, и до сих пор вводят всех в заблуждение.
Что же касается составления возможных попарных сочетаний из большего количества исходных предметов, надежнее и быстрее умножить число исходных предметов на число меньшее на единицу и разделить на два.
Например, учитель повел на экскурсию учеников в количестве восьми человек (не всех учеников заинтересовала эта экскурсия). Нужно разместить всех заинтересованных в ряд по два. Главное — замыкающая ряд пара! Не важно мальчик с девочкой, мальчик с мальчиком или девочка с девочкой. Сколько есть вариантов? Не будем заморачиваться, и умножим восемь на семь и разделим на два. Получим двадцать восемь! Согласитесь, что вычислить это вручную было бы весьма затруднительно!
Ну, а теперь, пора вернуться к ряду «Фибоначчи».
Первое число — один. Второе число — один. Третье число — два. Четвертое число — три. Пока смущают только две единицы в начале, а так вроде бы нормальное возрастание. Однако, продолжим! Пятое число — пять. Шестое число — восемь. Седьмое число мы пока не знаем, но, обязательно узнаем, если поймем закономерность. А есть ли она, эта закономерность? Закономерность есть всегда, когда задано какое-либо правило развития! Поэтому закономерность точно есть, только сложно ли будет ее обнаружить?
Попробуем установить ряд разниц между числами. Один минус один будет ноль. Два минус один будет один. Три минус два будет один. Пять минус три будет два. Восемь минус пять будет три. Получился ряд ноль, один, один, два, три. Похоже на ряд натуральных чисел, но все портит вторая единица!
Все же нам необходимо попыхтеть и установить вручную, сколько же монет окажется на поле чудес в седьмой день.
Вспомним: в шестой день на поле будут три деревца с «плодами» и два молодых деревца. Что произойдет на следующий, то есть седьмой, день? Все пять деревьев принесут «плоды», а из трех «плодов» прошлого дня вырастут молодые деревца. Таким образом, на чудесном нашем поле уже будут тринадцать монеток! То есть на пять больше, чем в шестой день. Это обусловленно тем, что плодоносящих деревьев было пять. Теперь мы можем еще раз выстроить числовой ряд из разниц. Ноль, один, один, два, три, пять.
Получается такой же ряд, только «сдвинутый» на день назад!
Ну вот теперь, совершенно очевидно, что следующее число образуется добавлением предыдущего к текущему. Так ли это?
Давайте же немедленно проверим наше предположение!
Ноль плюс один будет один. Один плюс один будет два. Два плюс один будет три. Три плюс два будет пять. Пять плюс три будет восемь. Восемь плюс пять будет тринадцать.
Снова Ура! Вот мы и разгадали эту весьма не простую задачу! Каждое последующее число образуется сложением двух предшествующих чисел!
Но давайте закрепим наш результат! По нашим расчетам в восьмой день на поле чудес будут находится, тринадцать плюс восемь, двадцать одна монетка.
Проверим это пересчетом. К окончанию седьмого дня было пять деревьев с плодами и три молодых деревца. Значит, в восьмой день восемь деревьев принесут по новой монетке, и вырастут пять новых деревьев. Как будем считать? К удвоенному количеству плодоносящих деревьев (удвоенное потому, что одна монетка в корнях, вторая на ветвях) прибавим количество пока еще молоденьких деревьев (только одна монетка, которая в корнях). Дважды восемь будет шестнадцать. Плюс еще пять, будет двадцать одна.
Мы — молодцы! Закономерность найдена!
Теперь мы можем точно подсчитать количество монеток в любой день!
Причем мы знаем, что текущее число соответствует количеству плодоносящих деревьев, предыдущее число соответствует количеству молоденьких деревьев. Кстати! Давайте уже выйдем со сказочного поля чудес, и рассмотрим развития этого числового ряда в реальности.
Однажды погожим весенним утром, когда из, согретой лучами солнышка, земли взошел тоненький, нежный росток. Первые два месяца он просто тянулся к солнышку. Вторые два месяца он стал крепнуть и в последующие два месяца он еще подрос сам, да еще пустил новую нежную веточку. Но тут наступила осень, а потом снежок укрыл этот маленький, но живучий росток от зимних морозов. Долго длилась зима, но росток все это время крепко спал, и проснулся только тогда, когда земля снова согрелась, и питательные соки побежали по росточку. И за четвертые два, благоприятных для роста, месяца подрос основной стебелек, который пустил еще одну веточку, а также подросла и окрепла веточка, которая появилась еще прошлым летом. Прошло еще два теплых месяца. Пятые по счету из теплых. Стебель еще подрос и вывел еще одну веточку. Первая веточка сама подросла и вывела уже свою веточку. Вторая веточка тоже подросла. И теперь, растение состояло уже из пяти оконечностей, три из которых в следующие два месяца выпустят по новой веточке.