3. Играйте, пока не соедините все точки. Кто наберет больше очков, тот и победил.
ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА
Впервые я сыграл в эту игру в детстве, в подвале с полками, набитыми видеокассетами, под аккомпанемент тяжелой поступи динозавров. Нам с братьями не хватало стратегического мышления: в основном мы действовали наобум, стараясь просто не рисовать третью сторону квадратов (чтобы противник не нарисовал четвертую) и волей-неволей рассредоточивали свои линии[7]. Рано или поздно безопасных ходов не оставалось. Тогда-то и наступала самая напряженная стадия игры.
Теперь жертвы становились неизбежными, хотя и не все были равноценными. Некоторые ходы позволяли противнику набрать лишь одно или два очка, а другие заполонить своими квадратами практически все поле. Я всегда старался жертвовать самыми маленькими областями, надеясь отвоевать те, что покрупнее.
Годы спустя, работая над этой книгой, я освоил важную стратегию, незамысловатую, но позволяющую обыгрывать 99 % новичков: двойной крест. Идея в том, что вы ломаете противнику весь кайф, когда он уже нацелился сделать триумфальный ход. Просто сократите свой ход, не начертив предпоследнюю линию. Таким образом, рисуя одну линию, вы жертвуете двумя квадратами, которые получит ваш противник (поэтому крест двойной). В обмен вы завладеете всей областью, на которую положил глаз ваш оппонент.
За пределами этой стратегии всё становится сложным и неясным. Детали вы можете почерпнуть из трудов великого Элвина Берлекампа. Он скончался, когда я работал над этой книгой, и навсегда останется в нашей памяти как ненасытное дитя математической сложности.
ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ
Сегодня в «Точки-клеточки» играют практически везде: на черных, белых и зеленых школьных досках, в желтых блокнотах юристов, на ресторанных салфетках или за неимением лучшего на собственных ладонях[8]. Впервые правила игры опубликовал математик Эдуард Люка в 1889 году. Он называл ее Pipopipette. По словам Эдуарда, игру придумали его бывшие студенты из престижной парижской Политехнической школы.
Странно, не правда ли? Зачем серьезным студентам тратить время на придумывание детской игры? И почему такой уважаемый ученый решил опубликовать статью о ней?
Ответ прост: потому что серьезная математика часто рождается именно из детских игр.
Мы видим эту закономерность даже в карьере Эдуарда. Пожалуй, он наиболее известен своим исследованием последовательностей наподобие чисел Фибоначчи, где каждое следующее число сумма двух предыдущих. (Классическая последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8 и так далее.) Числа Фибоначчи кажутся глупой забавой до тех пор, пока вы не начнете подсчитывать лепестки маргаритки, семена подсолнуха или ананаса. Тогда вы убедитесь, что в эту глупую игру играют не только дети (и неповзрослевшие взрослые), но и сама природа.
Вот еще одна любимая задача Эдуарда: головоломка с пушечными ядрами. Суть в том, чтобы найти число пушечных ядер, из которых можно сложить идеальный квадрат и идеальную пирамиду. Задача выглядит пустяшной. Однако она дьявольски сложна. Эдуард предположил, что известное решение (4900 пушечных ядер) единственное.
Десятилетия спустя исследование эллиптических функций доказало его правоту.
Но самое знаменитое изобретение Эдуарда «Ханойская башня». Наверняка вы видели такие игрушки. Башня состоит из трех стержней и набора дисков разного диаметра, образующих пирамиду. Цель состоит в том, чтобы перенести пирамиду с одного стержня на другой, перемещая по одному диску за раз и никогда не укладывая больший диск поверх меньшего.
На первый взгляд башня, как бы это сказать помягче, детская забава. Тем не менее у нее множество практических применений. Психологи используют ее для проверки когнитивных способностей; преподаватели информатики для обучения рекурсивным алгоритмам; инженеры-программисты в качестве схемы ротации при резервном копировании данных.
Почему праздное времяпрепровождение с легкостью превращается в научное исследование? Почему граница между работой и досугом такая зыбкая и проницаемая?
Честно говоря, не знаю. Подозреваю, Эдуард тоже не знал. Можно сказать лишь одно: простые математические предпосылки приводят к глубоким выводам. Вот что такое математика на самом деле: сложное взаимодействие простых идей. Эдуард так говорил о «Точках-клеточках»: «Несмотря на всю свою незамысловатость, на практике эта игра преподносит сюрприз за сюрпризом».
ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?
Потому что бесполезная игра часто рождает наиполезнейшие идеи.
В первой публикации, посвященной «Точкам-клеточкам», Эдуард Люка пространно рассуждает о ценности чистого любопытства. Он приводит множество исторических примеров и утверждает, что мы должны задавать вопросы спонтанно, какими бы глупыми они ни казались, поскольку неизвестно, насколько глубокие истины можно раскрыть.
Его стиль довольно витиеватый, однако все равно я процитирую[9]:
Каждый математик хочет вскрыть глубокие связи между несопоставимыми идеями. Вопрос в том, как этого добиться. Напряженно работать? Возможно. Терпеливо вычислять? Не повредит. Подсмотреть ответ в конце задачника? Простите, не угадали. Позволить воображению резвиться?
А вот здесь есть о чем поговорить.
Эдуард верил, что глубина возникает из игры, наука из дуракаваляния. И он был не одинок. Элвин Берлекамп научился играть в «Точки-клеточки», когда ему было 6 лет, и спустя 70 лет все еще не утратил интереса к ним. Он играл на протяжении всей жизни. И где-то посредине странствия земного, когда он изучал электротехнику в Массачусетском технологическом институте, его осенило: можно использовать математику, чтобы создать «дуальную игру», которую он окрестил «Нити и монеты».
Как выглядит эта альтернативная версия? Нарисуйте монеты, соединенные нитями. Один конец каждой нити приклеен к какой-либо монете, а другой либо к соседней монете, либо к столу. Игроки поочередно разрезают нити ножницами. Если монета высвобождается, она достается вам, и вы зарабатываете право на еще один ход. Игра длится до тех пор, пока игроки не разберут все монеты. Побеждает тот, у кого больше монет.
Никаких квадратиков лишь монеты. Никаких отрезков лишь натянутые нити. Но, по сути, игра та же самая. Не меняя принципиальную структуру, Элвин вывернул «Точки-клеточки» наизнанку.
Зачем? Да просто так. Забавы ради. «Пусть мыслители мыслят, а мечтатели мечтают, писал Эдуард Люка, не тревожась о том, что иногда занимаются чем-то несерьезным или бесполезным, ибо, по словам мудреца Анаксагора, во всём есть часть всего».
Эта философия вдохновляла математические изыскания на протяжении тысячелетий, и она прослужит нам еще тысячелетия. Пусть мыслители мыслят. Пусть мечтатели мечтают. Пусть студенты чертят закорючки на полях конспектов лекций. Не проводите границу между практичным и непрактичным, полезным и бесполезным, пустым и идеальным. Это области одного и того же необитаемого континента, одной и той же прекрасной девственной земли, которую мы лишь начали изучать.
ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ
Шведская доска. Границы поля уже нарисованы.
Точки-треугольнички. Правила те же, но вы играете на треугольном поле и сражаетесь за равносторонние треугольники. На мой взгляд, это делает игру красивее (к тому же треугольники легче начертить). Идеальное решение, если вас утомил классический вариант игры, а курьер с пиццей еще не прибыл.
Назарено. В этом усовершенствованном варианте игры из книги Андреа Анджолино «Отточенный карандаш и игры на бумаге» меняются два правила. Во-первых, вы можете проводить прямую линию любой длины, если она не пересекает уже начерченные линии. (Таким образом, вы можете дорисовать несколько квадратов сразу.) Во-вторых, если вы дорисовали квадрат, то не получаете дополнительный ход.