Итак, мы можем с достаточной уверенностью заявить, что в рассматриваемой схеме эксперимента по второму направлению, вправо излучаются два потока плоско поляризованных фотонов: с вертикальной и с горизонтальной поляризацией (относительно первого поляризатора). Это обстоятельство не противоречит математике квантовой теории. Понятно, что эти потоки представляют собой случайную смесь, в которой фотоны с ортогональными поляризациями встречаются в случайной последовательности.
Эту смесь из ортогонально поляризованных фотонов можно вращать, наклоняя поляризатор I вблизи передатчика. В простейшем случае мы можем выбрать два фиксированных направления, когда потоки вертикально-горизонтальные и имеют наклоны ±45 градусов к горизонтали. Это максимально возможные градации углов.
Пусть для передачи информации передатчик на своей стороне измеряет фотоны из запутанных пар одним из этих положений: вертикальным или наклонённым под 45о поляризатором. В этом случае на стороне приёмника фотоны также образуют два разных сигнала, каждый из которых состоит из двух таких же ортогональных поляризованных потоков в виде вертикального и наклонного под 45о "крестов". Следовательно, измерений на стороне приемника должно быть, по меньшей мере, четыре, поскольку он принимает четыре различно поляризованных фотона: вертикально, горизонтально, под углом +45о и под углом 45о. Главная цель приёмникаразличить эти два ортогонально поляризованных потока-креста.
Попробуем выяснить, возможно ли это. Произведём измерения четырёх возможных состояний с помощью одной и той же схемы.
Передача сигнала нуля
Сначала рассмотрим смесь из двух потоков ортогонально поляризованных фотонов: с вертикальной и горизонтальной поляризацией, вертикальный "крест". Попробуем использовать его для передачи сигнала "ноль", "нет", false, точка азбуки Морзе и так далее. Каждый из фотонов этой смеси имеет либо вертикальную поляризацию, либо горизонтальную. Пропустим эту смесь через гейт CNOT: поток поступает на управляющий вход гейта, а на управляемый вход подадим фотоны с горизонтальной поляризацией. С выходов гейта CNOT фотоны подаются на два соответствующих наклонённых на 45 градусов расщепляющих поляризатора с ± выходами (П1 и П2 на рис.4). Произведем измерения фотонов этого потока.
Измерение вертикальной составляющей потока прямого "креста". Для вертикально поляризованного потока на входе гейта имеем входное двухкубитное состояние:
Этот вектор в матричном виде, в виде столбца коэффициентов запишем в следующем виде:
Следовательно, после прохождения через гейт CNOT волновая функция в матричном виде будет преобразована следующим образом:
В дираковской форме эта волновая функция может быть представлена как тензорное произведение двух независимых волновых функций, то есть, пара не является запутанной:
Эти два фотона (из потока и управляемый фотон на выходе) поступают на два наклонённых под 45 градусов расщепляющих поляризатора, каждый из фотоновчерез свой поляризатор. Поскольку фотоны независимые, то через эти одинаково ориентированные поляризаторы на одноименные выходы пройдёт по 50% фотонов с управляющего и управляемого выходов гейта
CNOT
. Вероятность парного прохождения, то есть, когда на одноименные выходы разных поляризаторов пройдут оба фотона пары, согласно закону Малуса будет равна:
Это очевидно, поскольку в базисе поляризаторов фотоны описываются одинаковыми волновыми функциями
Таким образом, поскольку фотоны не запутанные, совпадений при прохождении через поляризаторы будет 50% (25%оба прошли на плюс, 25%оба прошли на минус).
Измерение горизонтальной составляющей потока прямого "креста". Для горизонтально поляризованного фотона на управляющем входе гейта CNOT и горизонтально поляризованного фотона на управляемом входе имеем волновую функцию:
Или в матричном виде:
На выходе CNOT получаем функцию в матричном виде:
В дираковской форме эта волновая функция также может быть представлена в виде тензорного произведения двух независимых волновых функций, то есть, пара так же не является запутанной:
Поскольку фотоны на управляющем и управляемом выходах гейта CNOT независимые, то при их прохождении через наклонённые на 45 градусов поляризаторы также будет по 25% совпадений. Волновые функции фотонов будут иметь вид
Вероятность парного прохождения, то есть, когда через одноименные выходы поляризаторов пройдут оба фотона, как и в предыдущем случае, будет равна:
То есть, и в этом случае совпадений при прохождении через поляризаторы будет 50% (25%оба прошли на плюсовые выходы, 25%оба прошли на минусовые выходы). Но каждый из полу-потоков составляет 50% от общего количества фотонов в потоке, поэтому в их полном количестве парные совпадения также будут равны, соответственно, P00 и P11. То есть, хотя в каждом полу-потоке вероятность парного прохождения равна 50%, в полном потоке это количество составит только 25%. Следовательно, общее совместное одноименное прохождение, таким образом, составит
Такое 50-процентное совпадение обозначим как сигнал "ноль", "нет", false, точка азбуки Морзе и так далее.
Передача сигнала единицы
В случае поворота поляризатора передатчика на вход приемника поступят два ортогонально поляризованных потока фотонов с наклоненной на 45 градусов вертикальной и горизонтальной поляризацией (наклонный "крест"). Попробуем использовать его для передачи сигнала "единица", "да", true, тире азбуки Морзе и так далее. Смесь в этом случае будет содержать два потока фотонов с волновыми функциями:
Измерение составляющей Ψ+ потока наклонного "креста". Для этой составляющей на управляющем входе гейта CNOT и горизонтально поляризованного фотона на его управляемом входе имеем волновую функцию и её матричную форму:
После их прохождения через гейт получим состояние в матричном виде:
В дираковской форме волновая функция теперь уже не может быть представлена как тензорное произведение двух независимых волновых функций, что означает запутанное состояние фотонов (чистое состояние Белла ϕ+, состояние шрёдингеровского кота):
Поскольку фотоны запутанные, то при их прохождении через наклонённые на 45 градусов поляризаторы оба всегда с единичной достоверностью пройдут на одноименные выходы. И на плюсовой и на минусовой выходы фотоны пройдут одновременно с вероятностью:
Вероятности разноименных прохождений равны нулю:
Таким образом, совпадений при прохождении через поляризатор будет 100% (50%оба прошли на плюсовой выход, 50%оба прошли на минусовой выход):
По количеству фотонов это составит 50 фотонов из 100 для каждого из совпадений для данного полу-потока или из 200 пар фотонов в полном потоке.
Измерение составляющей Ψ потока наклонного "креста". Для этой составляющей потока на управляющем входе гейта и горизонтально поляризованного фотона на управляемом входе гейта имеем волновую функцию и её матричную форму:
После их прохождения через гейт CNOT получим совместное состояние в матричном виде:
И в этом случае в дираковской форме волновая функция не может быть представлена как тензорное произведение двух независимых волновых функций, что означает запутанное состояние фотонов (чистое состояние Белла ϕ). Эта волновая функция имеет следующий вид:
Поскольку фотоны запутанные, то через наклонённые на 45 градусов поляризаторы, как и в предыдущем случае, пройдёт 50% пар управляющих и управляемых фотонов с выхода гейта CNOT. То есть, на одноименные выходы расщепляющих поляризаторов оба фотона пройдут с вероятностью:
По количеству фотонов это вновь составит 50 фотонов из 100 для каждого из совпадений. Вероятности разноименных прохождений в этом случае также равны нулю:
Таким образом, как и в предыдущем случае, совпадений при прохождении через поляризатор будет 100%, (50%оба прошли на плюсовый выход, 50%оба прошли на минусовый выход), то есть, для суммарного прохождения фотонов двух полу-потоков эта величина составит 200 фотонов из 200: