Программа MathCAD позволяет для матриц выполнять нахождение определителя, решать матричные уравнения. Применение этой программы исключает выполнение громоздких ручных расчетов и позволяет по приведенному выше алгоритму получать точное решение без каких-либо приближенных методов.
MathCAD позволяет выполнять с матрицами символьные вычисления.
Для решения матричного уравнения типа:
необходимо записать матрицу
вставить определитель
, вызвать команду «».
В результате получается запись многочлена из определителя. Многочлен копируется в отдельное место. Выделяют переменную «Х» в многочлене и в панели инструментов выбирают полиноминальный коэффициент. В результате этого получится матрица с коэффициентами из полученного многочлена:
Затем вызывается или записывается вручную команда polyroots, в которую добавляется полученная матрица в виде:
М1 и М2 являются корнями матричного уравнения.
Для подробного ознакомления с вычислением матриц в MathCAD следует обратиться к учебному пособию по программе.
__
Рассмотрим пример построения эпюры свободных колебаний
Находим значение кинетической и потенциальной энергии:
Находим коэффициенты инерции и жесткости системы:
Для системы с 2 степенями свободы, уравнения частот записываются в виде:
После выполнения операции исключения μ из системы двух уравнений, получается одно уравнение частот:
Корни уравнения частот
и
определяют частоты свободных колебаний
k
1
и
k
2
(частоты главных колебаний системы).
Частота k1 (k1 < k2) является основной частотой колебаний.
Значения коэффициентов инерции и жесткости подставляются в полученное уравнение частот:
После преобразований:
В условии примера
Корни:
Значения частот k1 и k2 по результатам сопроматского расчета (см. работу Беляева [5]):
С учетом этого значения корней:
Коэффициенты распределения:
Эпюра главных колебаний:
__
Форма эпюр подчиняется теореме об узлах собственных форм колебаний [4,с.120]. По этой теореме амплитуды для разных частот колебаний не имеют одинакового знака. То есть, если амплитуда первой формы положительная, то амплитуда остальных форм должна иметь минимально одну перемену знака. Число перемен знака или число узлов собственной формы колебаний m-го порядка равно m-1.
Бабаков [4,с.124] для балки с 3 точечными нагрузками приводит три возможные формы колебаний:
__
Решение приближенным методом Релея
По методу Релея допускается:
масса системы не изменяет типа колебаний
перемещение системы при колебании имеют ту же форму, что и при статической деформации (сходство формы не означает равенство величин деформации).
Ошибка по методу Релея не превышает 1,5% [2,с.60].
Метод Релея состоит в том, что в конкретный момент времени находится перемещение точек вала по формулам статической деформации. Для других моментов времени перемещения могут отличаться от выбранного момента времени. Так как действующая на вал сила Р, состоящая из веса груза и сил инерциизависит от времени.
__
Рассмотрим по методу Релея колебания консольной балки (вала) с защемленным концом [2,с.73].
ркруговая частота собственных колебаний в этом примере и ниже.
Обобщенное перемещение:
Кинетическая энергия груза:
в этом уравнении квадрат скорости
Кинетическая энергия элемента балки dc:
Уравнение упругой линии:
Минуя выкладки, полная кинетическая энергия системы:
Потенциальная энергия системы:
Уравнение Лагранжа:
В этом уравнении круговая р0 частота:
Статический прогиб на консоли балки:
И
Решение уравнения :
период колебания
частота
круговая частота
__
Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорной однопролетной балки (вала), нагруженной сосредоточенной силой посередине [2,с.65].
Обобщенное перемещение:
Кинетическая энергия груза:
Уравнение упругой линии:
Интегрируя последовательно:
Прогиб:
Прогиб посередине пролета:
Следовательно,
Как видно, прогибы x и xc являются динамическими прогибами, а не статическими, и имеют переменное значение, зависящее от времени.
Так, формула прогиба имеет переменное от времени значение так как сила Р, состоящая из веса груза и сил инерциизависит от времени.
Кинетическая энергия стержня:
Полная кинетическая энергия системы:
Потенциальная энергия системы:
Уравнение Лагранжа:
Эта формула аналогична формуледвижения груза, подвешенного на пружине, имеющий общий интеграл .
Используя этот интеграл находим:
период:
частоту
круговая частота
Если собственную массу балки не учитывать:
Т.е. к массе мешалки необходимо прибавитьот веса вала.
__
Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорной однопролетной балки (вала), нагруженной сосредоточенной силой в произвольном положении [2,с.70].
Обобщенное перемещение:
Кинетическая энергия груза:
Кинетическая энергия элемента балки dc:
Уравнение изогнутой оси балки (вала):
В точке приложения груза:
При формула имеет вид, как для предыдущего примера:
Потенциальная энергия системы:
Уравнение Лагранжа:
Для статического удлинения k необходим груз:
Находим:
период
частоту
круговая частота
__
Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорного однопролетного вала, нагруженной двумя произвольно приложенными сосредоточенными силами [2,с.76].
Ограничения метода Релея приводят систему к системе с 1 степенью свободы. При точном рассмотрении системы, она имеет множество степеней свободы.
Перемещение каждого груза:
Наибольшие перемещения грузов являются амплитудой для, для
Скорости грузов:
Максимальная скорость при
Максимальная скорость соответсвует переходу точки через статическое равновесие, т.к. фаза pt равна 0° или 180° при положении точки с на оси балки.