раз.
Отсюда и берется правило произведения: 15 · 14 способов.
Но есть одна хитрость. Я хочу посчитать пары независимо от порядка кружочков. Чтобы вот такие пары (см. рис. 13) не различались. Что надо сделать с количеством способов?
Слушатель: Разделить на два.
А.С.: Да. Мы любую такую пару посчитали два раза. Один раз. когда мы сначала взяли синий круг, а потом белый. В другой раз мы первым взяли белый круг, а вторым синий. То есть мы каждую пару посчитали два раза. Поэтому ответ (15 · 14) : 2 = 105.
Мы посчитали число имеющихся пар из 15 элементов «Цэ из 15 по 2». как говорят математики. «Цэ» означает первую букву слова combination (комбинация). См. формулу (1).
С2_ = 15_14 = 105> ^
Математики любят символы. Но зачем они? Затем, что иначе придется очень много писать. Символы и язык математики нужны, чтобы сокращать запись. Почему древние греки и римляне не дошли до современных высот математики? Потому, что они тратили очень много времени на лингвистическую работу перевода математики в слова (и обратно: слов в математику). А вот когда математика перешла на символы, начался прорыв, о котором я еще расскажу.
Вернемся к нашим змейкам (формула (2))3. Первая из них соответствует измененной позиции, а втораяисходной:
(1, 2, 3, 4, 8, 7, 6, 5, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 13)
(1, 2, 3, 4, 8, 7, 6, 5, 9, 10, 11, 12, 15, 14, 13)
Для каждой пары чисел в каждой строке (а пар всего 105) мы спрашиваем, в правильном ли порядке написаны числа.
Слушатель: Частично да, частично нет.
А.С.: Верно. Например, 1 и 2в правильном порядке.
Слушатель: И последующая пара (2, 3)тоже.
А.С.: Да, и следующая, и следующая за ней. То есть (4,8).
Слушатель: В смысле «в правильном порядке»?
А.С.: «В правильном» не значит, что числа в паре соседние: и в (2,3), и в (2,7)числа в паре расположены в правильном порядке.
Слушатель: По возрастанию.
А.С.: Да, по возрастанию. Большее следует за меньшим. Но, например, пара (15,13) «нарушает порядок», потому что вначале идет большее число, потом меньшее.
Посчитаем количество пар, которые стоят в неправильном порядке. То есть по убыванию.
Слушатель: Простите, но ведь мы сами выбрали такую запись в виде извивающейся змеи. Мы разве не могли записать как-то иначе?
А.С.: Могли. Могли записать иначе, но тогда мы бы не преуспели в доказательстве того факта, который нам нужен.
Математика дает полную свободу исследователю. Когда он провел рассуждение и сказал: «Теперь всё доказано»,он оправдывает всё, что построил. Математик скажет: «Рассмотрим то-то и то-то». Зачем? Ужас, зачем, это рассматривать? А потом рази всё получилось (невзирая на «ужас»), Мат ем am и- касамый свободный род занятий. Никакой моды, нет, ничего.
Если вы, доказали недоказанную гипотезу, то чем бы вы ни пользовались, всё прощается. Победителей не судят (но иногда их слегка журят за сложноватое доказательство).
Итак, зачем я считаю пары, и почему так выписал змейку, пока не будет, понятно. Мы, договорились о некотором правиле. Мы, именно так выписываем числа. Вам придется принять это как есть. А дальше я считаю количество пар, которые стоят в неправильном порядке. Раз, два, три, четыре, пять, шесть... (см,, рис. 14).
Условно разобьем наш ряд из 15 чисел на 4 группы в соответствии с номером строки. Рассмотрим для начала пару, элементы которой принадлежат разным группам. Ясно, что такая пара обязательно будет «правильной», так как любой элемент из группы слева меньше любого элемента из группы, стоящей правее: у нас группы от 1 до 4. от 5 до 8. от 9 до 12 и от 13 до 15. Значит, «неправильные» пары следует искать внутри групп. В первой и третьей группе всё хорошо, поэтому считать надо только оставшиеся две группы. Во второй группе 6 неправильных пар (8.7; 8.6; 8.5; 7.6; 7. 5; 6. 5). В четвертой группе чисел (для змейки, соответствующей измененной позиции) неправильных пар 2. Итого 8. А сколько неправильных пар в исходной позиции? (См. нижнюю строку на рис. 15 или в формуле (2) выше.)
Слушатель: 9.
А.С.: Да. 9. Мы находимся на подступах к пониманию. Сейчас я покажу, что никакие изменения пустого места не меняют четности, количества неправильных пар. Само количество, конечно.
меняется. У нас оно пока равно 8. однако, если перемешать все фишки, согласно правилам игры «15». то количество неправильно стоящих нар изменится. Но удивительный факт состоит в том. что вы никогда не измените четности, этого количества. Само количество будет прыгать в сторону увеличения или уменьшения, но только на 2. на 4. на 6. словом, на ЧЕТНОЕ число единиц.
Начнем доказывать это утверждение. Где-то есть пустое место в коробке 4x4 (пусть конфигурация чисел, окружающих его. такая. как на рис. 16).
Пустое место может сдвинуться в 4 направлениях (рис. 17).
Давайте рассмотрим все 4 варианта и посмотрим, что произойдет со змейкой.
Что происходит с выписанной змейкой чисел, если я передвигаю клетку с числом 11 налево?
Слушатели: Ничего.
А.С.: Правда. А что происходит со змейкой, если я передвигаю клеточку с числом 9 направо?
Слушатели: Ничего.
А.С.: Ответ верный. Два других варианта немного более сложные. но совершенно однотипные.
Что происходит, когда клетка движется сверху вниз или снизу вверх?
Слушатель: У нас появляются неправильные нары.
А.С.: Да. у нас либо появляются, либо пропадают неправильные пары. Вопрос, сколько таких пар появляется и сколько пропадает? Ответ на этот вопрос зависит от того, где стояло пустое место. И вот здесь придется рассмотреть уже 4 варианта, но не для исходной стандартной змейки, а для любой. От самых простых в сторону самых сложных. Например, пусть в третьей строке получилось «9. 10. 11. пусто» (а номер 12 оказался в четвертой строке за счет каких-то предыдущих перемещений) (см. рис. 18).
Записываю фрагмент змейки:
...8, 7, 6, 5, 9, 10, 11, пусто ...
Нас интересует только этот фрагмент, потому что при движении, которое будет совершено, слева и справа в змейке ничего не изменится. Будет меняться только этот набор цифр. Расположение остальных пар не меняется. Внимание: «8» пошло вниз, пустышканаверх (рис. 19).
Как теперь будет выглядеть середина змейки? Вот так:
... пусто, 7, 6, 5, 9, 10, 11, 8 ...
Что произошло? Восьмерка из начала группы скакнула в конец. Какие пары свое значение поменяли? Группа из шести чисел (7, 6, 5, 9,10,11) целиком сохранилась. Она просто поменялась местами с восьмеркой. Значит, какие пары поменяли, как говорят математики, «свой тип монотонности», то есть возрастание сменилось убыванием (или, наоборот, убываниевозрастанием)?
Слушатель: (8,7).
А.С.: (8,7). Здесь теперь (7,8); а еще?
Слушатель: (8,6), (8,5) ...
А.С.: При том движении, которое я произвел, поменяют взаимное расположение чисел только те пары, в которых участвовало число 8. Поэтому 6 пар изменили тип монотонности. Если были возрастающимистали убывающими, и наоборот.
Рассмотрим каждую пару в отдельности.
Было (8, 5) (числа в порядке убывания), стало (5, 8)возрастание. Количество неправильных пар изменилось на единицу вниз.
Было (8,10), стало (10,8), количество неправильных пар изменилось на единицу вверх. С остальными парамито же самое. Каждый раз мы добавляем или вычитаем единицу. Не может быть, чтобы где-то (вместо плюс/минус единицы) получился нуль, так как среди указанных шести чисел нет восьмерок (ведь каждое число, написанное на фишке, единственно).
Вне зависимости от знаков, количество изменивших тип монотонности пар всегда четно. Имеется 64 способа расставить знаки, но в результате всегда в качестве суммы получится четное число. Соседние плюс/минус единички либо добавят к сумме 2, либо добавят (2), либо взаимно уничтожатся, давая ноль:
±1 ± 1 ± 1 ± 1 ± 1 ± 1
В каждой паре соседних плюс/минус единичек получится или 0, или 2 или 2. То есть общее изменение количества «неправильных пар» может произойти на 6, 4, 0, 2, 4, 6.
Изменения происходят на четную величину, поэтому исходное количество «беспорядков» (оно было равно 8) могло стать числом 14, если все единички оказались бы с плюсом, могло остаться 8 (если бы было +1, +1, +1, 1, 1, 1). Могло стать 6, могло 4 или 2. Но никак не могло стать ни 5, ни 7.