На каждом этаже у дежурной по определению должно быть бесконечное, счетное количество номеров. В противном случае вариантов в смысле номеров комнат у неё будет конечное количество, то есть, каждое двоичное число будет иметь вполне определенное число знаков. Например, 10165 нулей и единиц. В этом случае задача имеет однозначное решение при бесконечном количестве гостиниц и этажей, поскольку любая счетная (потенциальная) бесконечность перекрывает любое конечное число вариантов.
Но, с другой стороны, если на этаже счетное, то есть, бесконечное количество номеров, то и в этом случае будет получен список вариантов, содержащий все возможные комбинации из бесконечного (счетного) числа нулей и единиц. То есть, и в этом случае задача решается однозначно, то есть, список вариантов будет единственным и полным.
" Могу ручаться, что список неполон. Я берусь указать вариант, который наверняка пропущен" [3, с.70-71].
Вполне ожидаема подмена понятий, но её следует показать непосредственно, явно.
"Мы заключили пари. Чтобы выиграть его, я предложил прибить каждый вариант на дверь того номера, которому он соответствовал" [там же].
Сразу же возразим. Напомним читателю, что вариантов составлено столько, сколько номеров на этаже, а не в гостинице целиком. Список отсортирован по возрастанию, но это не имеет принципиального значения, поэтому просто отбросим варианты других этажей, поскольку и одного этажа окажется вполне достаточно.
"А потом я поступил очень просто. Подойдя к двери первого номера, я увидел, что соответствующий вариант начинается с цифры 0. Немедленно в блокноте появилась цифра 1; это и была первая цифра варианта, который мне хотелось составить" [там же].
Здесь заметна некоторая неопределенность. Гостиниц бесконечное число (счетное). Можно также предположить, что, соответственно, этажей и комнат на каждом этаже также счетное (потенциально бесконечное) множество. В этом случае смысл первого номера становится неясен. Нумерация ведётся сквозная? Или в каждой гостинице есть свой первый номер? С этажами тоже не совсем ясно, хотя и проще, поскольку по принятой практике первая цифра номера комнаты равна номеру этажа. И вновь примем решение в пользу рассказчика: отбросим все номера кроме номеров на единственном этаже единственной гостиницы, а в номере комнаты отбросим цифры этажа. Следовательно, на каждом этаже каждой гостиницы будет комната с номером 0, причём под "вариантом", очевидно, подразумевается именно номеркомнаты.
"Когда я подошел к двери второго номера, то первая цифра соответствующего варианта меня не интересовала, ведь первая цифра моего варианта была уже написана. Поэтому все внимание было обращено на вторую цифру. Увидев, что эта цифра 1, я записал в своем блокноте цифру 0. Точно так же, обнаружив, что третья цифра варианта, прибитого к двери третьего номера, тоже 1, я записал в блокноте цифру 0. Вообще, если я обнаруживал, что n-я цифра n-го варианта есть 0, то писал в своем блокноте на n-ом месте цифру 1, если же n-я цифра n-го варианта была 1, то я писал у себя 0. Когда я обошел все номера гостиницы, то в блокноте оказалась записанной последовательность нулей и единиц" [3, с.70-71].
Методика понятна и разумна, но верные ли выводы из неё делает рассказчик?
" Вот, полюбуйтесь на пропущенный вариант.
А откуда известно, что он пропущен?
Он не может быть первым, так как отличается от него первой цифрой, не может быть вторым, так как отличается от него второй цифрой, третьим, так как отличается от него третьей цифрой, и вообще n-м, так как отличается от него n-й цифрой" [там же].
Как видим, метод полностью совпадает с рассмотренным выше, поэтому также ведет к неверному выводу. В его списке номер начинается, например, с цифры 0. Но это всего-навсего первый разряд бинарного числа бесконечной длины. Можно уверенно заявить, что вся монотонная бесконечная последовательность нулей и единиц в точности содержит половину начинающихся с нуля. Например, пятизначное двоичное число:
содержит всего 32 числа, первые 16 из которых начинаются с нуля. Следовательно, если номер первой комнаты начинается с нуля, то номер второй комнаты тоже будет начинаться с нуля. И так на бесконечном количестве дверей. Поэтому в блокноте вторая цифра, как и первая, так же будет единицей. И третья. И четвертая. И так до бесконечности. Счетной.