В литературе можно встретить описание довольно интересного способа подсчета количества точек на отрезке линии. Нетрудно догадаться, что в этом примере использованная методика счета ошибочна и ведет к ошибочному выводу. Несложное доказательство несчетности содержит не очень сильно скрытую подмену понятий. Итак:
"Теперь уже несложно доказать, что множество всех точек на прямой линии несчетно. Вместо этого множества можно говорить о множестве всех действительных чисел, так как каждой точке прямой соответствует действительное число и обратно. Каждое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби вида α,α1α2α3αn" [3, с.73-74].
Как видим, ряд знаков имеет бесконечное счетное количество знаков и, резонно предположим, что так же считает и автор доказательства. Сразу же заметим, что утверждения следует признать абсурдными. Любое конечное число всегда меньше бесконечности.
"Предположим, что нам удалось каким-то образом перенумеровать все действительные числа. Чтобы доказать, что это предположение неверно, достаточно построить хоть одно незанумерованное число. поступим следующим образом. Сначала напишем нуль и поставим после него запятую. Потом возьмем число, получившее первый номер, и посмотрим на его первый десятичный знак после запятой (то есть на число десятых)" [там же].
Для определенности отметим, что поиск незанумерованного числа производится, как можно заметить, на отдельном интервале всех действительных чисел [0, 1]. Сначала как на неточность в этом рассуждении, как и в предыдущем доказательстве, сразу же укажем на очевидное, но, похоже, незамеченное обстоятельство: на самом деле при последовательном, возрастающем счёте у второго числа вторая цифра тоже будет 0. И у третьего. И у четвертого. И у числа, занимающего бесконечно большую позицию. На словах это, возможно, не совсем ясно, поэтому покажем это на "виновнике торжества" на оцифрованном отрезке:
Рис.1. Оцифрованный отрезок, отдельный интервал всех действительных чисел
На рисунке видно, что первая цифра после нуля будет отличной от нуля, единица будет только после точки 0,1 отрезка. На интервале от 0 до 0,1 содержится счетное (пока оспариваемое) количество точек. Во всяком случае, это не одна, не миллион и даже не гугл точек, равный 10100, а в бесконечное число раз больше. У всех этих чисел первой цифрой после запятой будет ноль. Следовательно, искомое число пока находится вблизи нулевой точки, в самом начале отрезка [0, 1].
"Если эта цифра отлична от 1, то в числе, которое мы пишем, поставим после запятой 1, а если эта цифра равна 1, то поставим после запятой 2" [3, с.73-74].
Еще раз отметим, что отличная от единицы цифра в первой позиции после нуля первого числа будет нулем. Следовательно, в "искомом" числе после запятой первой будет 2. То есть, число будет 0,2. Сразу же на рисунке находим, что эта точка на отрезке есть это точка 0,2.
"Затем перейдем к числу, получившему второй номер, и посмотрим на его вторую цифру после запятой. Снова если эта цифра отлична от единицы, то в числе, которое мы пишем, поставим на месте сотых цифру 1, если же эта цифра является единицей, то поставим цифру 2" [там же].
Как и в предыдущем случае, вторым знаком опять будет ноль, поскольку точки расположены рядом и их номера различаются лишь в очень далекой позиции после нуля. Следовательно, и вторая цифра искомого числа будет 2. То есть, это будет число 0,22. По рисунку видно, что и эта точка на отрезке имеется. Она находится правее точки 0,2 и отстоит от неё примерно на 1/5 отрезка от 0,2 до 0,3.
"Точно так же будем действовать и дальше, каждый раз обращая внимание лишь на n-ю цифру числа, получившего n-й номер. В результате мы выпишем некоторое число, например, N=0,1121211. . . [там же].
Но мы уже можем заметить, что такое число не получается. А получится число 0,22222, в котором цифра 1 появится очень и очень не скоро. И эта цифра, единица также будет тиражироваться многократно. В конечном счете, формируемое число примет вид:
Кстати, можно догадаться по алгоритму, что число будет в основном состоять из двоек, поскольку из 10 цифр единица, которую помечаем двойкой, только одна.
"Ясно, что это число не получило никакого номера: в первом десятичном знаке оно отличается от числа с номером 1, во втором от числа с номером 2, . . ., в n-м от числа с номером n и т. д." [3, с.73-74].