Занимательная комбинаторика
Дмитрий Кудрец
© Дмитрий Кудрец, 2022
Предисловие
В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда нам необходимо рассадить гостей за столом, составить букеты из имеющихся цветов, подсчитать количество выигрышных билетов в лотерее и т. д. Но задумывались ли вы, сколькими вариантами мы можем это сделать? На этот вопрос помогает ответить комбинаторика раздел математики, изучающий задачи выбора и расположения элементов из некоторого множества в соответствии с заданными правилами.
Формулы и методы комбинаторики широко используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий.
Комбинаторика как самостоятельная наука появилась в XVIII веке. Рождение комбинаторики связано с трудами Блеза Паскаля и Пьера Ферма по теории азартных игр. Большой вклад в развитие комбинаторики методов внесли Готфрид Вильгельм Лейбниц, Яков Бернулли, Леонард Эйлер и другие выдающиеся ученые.
Перестановки
Однажды в выходной день Маша решила навести порядок в своих игрушках и рассадить в ряд медвежонка, куклу и львёнка.
Вначале она рассадила их так:
Но ей не понравилось, что медвежонок сидит рядом со львёнком. Тогда Маша пересадила игрушки следующим образом:
Но и тут Маша не смогла определиться, кто должен сидеть справа от куклы львёнок или медвежонок?
Так бы Маша и продолжала бы переставлять игрушки с места на место, если бы в комнату не вошел Машин папа.
Ты чем это занимаешься? поинтересовался он у Маши.
Да вот, грустно вздохнула Маша, пытаюсь расставить игрушки, но у меня что-то не получается. Столько много разных вариантов, а мне ни один не нравится.
Допустим, не согласился папа, что вариантов не так уж и много. У тебя три игрушки, значит, вариантов всего шесть.
Как ты так быстро посчитал? удивилась Маша.
Есть такая наука, пояснил папа, комбинаторика. Она и занимается подсчетом различных вариантов перестановок. Допустим у тебя всего две игрушки медвежонок и кукла. Их можно переставить только двумя способами:
или
Если у тебя три игрушки, то это можно сделать уже шестью способами:
А если у меня четыре игрушки? спросила Маша.
Тогда существует 24 варианта различных способов их перестановки. В комбинаторике такие упорядочения множества, состоящего из определенного количества элементов, так и называют перестановками. Особенностью перестановок является то, что в них должны участвовать все элементы данного множества.
Количество всех возможных перестановок можно найти по формуле, где n количество элементов данного множества.
Символ n! называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 1 до n.
.
Например, 3!=123=6. 4!=1234=24.
При вычислении факториала принято считать, что 0!=1, 1!=1.
А если у меня пять игрушек? не унималась Маша.
В таком случае у тебя 12345=120 вариантов перестановок.
Так много? удивилась Маша.
А если множество состоит из 6 элементов, продолжал папа, то число перестановок будет равняться 720. Для 7 элементов число перестановок будет равно 5040, для 8 40320 и так далее. Чем больше число элементов, тем больше число перестановок.
А если вместо пяти игрушек взять пять конфет? спросила Маша. Число перестановок изменится?
Если конфеты все различные, то, как и в случае с игрушками число перестановок все равно будет 120.
То есть, заключила Маша, число перестановок не зависит от того, что я переставляю игрушки, конфеты или еще что-нибудь?
Совершенно верно! подтвердил папа. Главное, чтобы в перестановках участвовали все элементы множества, и элементы должны быть различными.
Посчитать число перестановок несложно, согласилась Маша, а вот переставить игрушки и не запутаться при этом гораздо сложнее.
К сожалению!!! По просьбе правообладателя доступна только ознакомительная версия...