4. Вычисление напряжений по площадкам, перпендикулярным к оси стержня
Рассмотрим небольшую площадку сечения некоторого тела, действующую на нее; внутреннюю силу обозначим ΔF. Отношение внутренней силы к единице площадки определяет среднее значение интенсивности на площадке ΔA.
Если бесконечно уменьшать площадку ΔA, напряжение стремится к своему предельному значению и называется истинным напряжением.
Разложим вектор полного напряжения p на две составляющие: нормальное напряжение σ, направленное по нормали к сечению, и касательное напряжением τ, направленное по касательной к сечению. Между величинами p, τ, σ существует зависимость, которая выражается формулой:
Нормальные напряжения возникают, когда под действием внешних сил частицы стремятся приблизиться или отдалиться. Когда частицы стремятся сдвинуться относительно друг друга в плоскости сечения. Касательное напряжение можно разложить на две составляющие: τzx и τzy. Первый индекс показывает, какая ось перпендикулярна сечению, второй – параллельно какой оси действует напряжение.
Напряжения в поперечных сечениях связаны с внутренними силовыми факторами, определенными зависимостями.
dNz = σzdA; dQx = τzxdA; dQy = τzydA
Соответствующие элементарные моменты относительно координатных осей имеют вид:
dMz = (τzxdA)y – (τzydA)x; dMx = (σzdA)y;dMy =(σzdA)x
Просуммировав бесконечно малые силы и моменты, действующие в сечении, получим выражения, связывающие внутренние силовые факторы с напряжениями.
Полученные выражения можно рассматривать как определения, выражающие физическую сущность внутренних силовых факторов. Также, при определенных методах сечения внутренних факторов, эти формулы могут использоваться для вычисления напряжений, если известны законы, по которым эти напряжения распределяются по сечению.
5. Деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука. Коэффициент поперечной деформации
Некоторые элементы конструкций и элементов подвергаются только продольным нагрузкам, что вызывает в них деформацию растяжения или сжатия. Длина стержня, подвергнутого растяжению, увеличивается, а площадь его поперечного сечения уменьшается. При сжатии наоборот – длина уменьшается, а площадь сечения увеличивается. При этом изменение длины называют линейной продольной деформацией, а изменение площади поперечного сечения – поперечной линейной деформацией. Для оценки интенсивности деформации применяют такие понятия, как относительная продольная ε и относительная поперечная ε' – деформации, приходящиеся на единицу длины или пощади сечения стержня.
где Δl – изменение длины стержня;
Δa – изменение площади сечения.
Продольную деформацию растяжения обычно считают положительной, деформацию сжатия – отрицательной. Продольная и поперечная деформации связаны соотношением
μ – коэффициент поперечной деформации, который имеет свое значение для разных тел (в пределах упругого деформирования). Этот коэффициент называют коэффициентом Пуассона.
В пределах упругого деформирования экспериментально была установлена прямая зависимость между нормальным напряжением σ и относительной деформацией ε.
σ = Eε
Это соотношение носит название закона Гука, а коэффициент пропорциональности E называется модулем упругости первого рода. Модуль упругости – это величина, постоянная для каждого материала. Из соотношения видно, что при постоянном напряжении деформация меньше при большем модуле упругости.
Если рассматривать участок длиной l, на котором продольная сила и площадь поперечного сечения постоянны, закон Гука можно представить в виде:
Произведение EA называется жесткостью сечения.
При растяжении или сжатии стержня его сечения перемещаются. Осевое перемещение сечений друг относительно друга равно изменению длины стержня между этими сечениями. График, на котором изображены перемещения всех сечений относительно одного, принятого за неподвижное, называется эпюром перемещений.
6. Механические характеристики свойств материала
Для правильного побора материала при расчетах машин и сооружений надо знать механические свойства подбираемых материалов, к которым относятся:
– прочность – способность материала выдерживать воздействие внешних сил без разрушения и возникновения опасных последствий;
– пластичность – способность материала накапливать пластические деформации до разрушения;
– упругость – способность материала восстанавливать свою форму и размеры после удаления нагрузки;
– жесткость – способность тела противостоять упругой деформации и разрушению при воздействии.
Все детали перед введением в эксплуатацию подвергаются механическим испытаниям, что позволяет определить характеристики свойств материалов. Наиболее распространенным испытанием является растяжение. На начальном этапе растяжения абсолютные деформации пропорциональны нагрузке, а относительные деформации пропорциональны напряжению, т. е. справедлив закон Гука. Пределом пропорциональности σпц называется максимальное напряжение, при котором выполняется закон Гука. При достижении нагрузкой некоторой величины в образце появляются остаточные деформации. Пределом упругости σ
0,05
Предел текучести материала σmПределом прочностиσвотносительное остаточное удлинениеотносительное остаточное сужениеИспытания на сжатие для пластичных тел в начале дают результаты, похожие на растяжение, но при нарастании нагрузки пластичные тела не разрушаются, а сплющиваются. Поэтому целесообразнее таким испытаниям подвергать хрупкие тела с малым относительным остаточным удлинением при разрыве. Как правило, в таких испытаниях определяется предел прочности σсв – максимальное напряжение, соответствующее максимальной нагрузке.
7. Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии
Статистически неопределимые задачи – это задачи, в которых число неизвестных превышает число уравнений статистики. Недостающие уравнения составляются исходя из условия совместности деформаций. Для примера рассмотрим систему, представленную на Рис. 2.1.
Рис. 2.1
Пусть крайние стержни, имеющие равные площади поперечных сечений (F
1
2
3
3
1
2
c
м
Рис. 2.2
Точка А в результате деформации переместится в точку А
1
1
3
2
2
1
2
1
2
3
Найдя из чертежа зависимость между этими удлинениями, получим дополнительное уравнение совместности деформаций. Из треугольника А
1
2
АВ
2
1
1
3
Подставляя значения ∆ℓ
1
3
Из треугольника АВД получаем ℓ
3
1
Подставляем значение N
1
По величинам этих усилий и допускаемым напряжениям определим F
1
3
8. Напряжения, возникающие при изменении температуры
В статически неопределимых системах возникают напряжения при отсутствии внешних нагрузок не только от неточности изготовления и сборки, но и от изменения температуры. Возьмем стержень, защемленный неподвижно концами при температуре t
1
2
1
2
R
A
B
Для составления дополнительного уравнения мысленно отбросим одну из опор, например, опору В и дадим стержню деформироваться в зависимости от температуры на величину ∆ℓ
t
∆ℓ
t
2
1
где α – коэффициент линейного расширения материала. Но так как длина стержня, закрепленного концами, остается и при нагревании неизменной, вернем опору В в первоначальное положение. Стержень укоротится на величину
∆ℓ
RB
t
Это и есть условие совместности деформаций; оно указывает на то, что при изменении температуры длина стержня не изменилась, он не оторвался от неподвижных опор. По закону Гука