§7. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Движение каравана определяет шаг самого медлительного осла (Омар Хайам?)
Динамические модели позволяют описать намного более широкий спектр возможных траекторий и обладают важным преимуществом наличием обратной связи, позволяющей системе саморегулироваться. Таким образом, формальный математический аппарат незаменим, когда надо строго связать набор предположений относительно системы с прогнозами ее динамики, описываемых параметрами. Например, в экономико-демографических моделях это число людей и ресурсы, которые производит общество, в социально-политических это также население и политическая стабильность110, военно-политических военно-технический потенциал, мобилизационные ресурсы и логистика. В них в качестве динамических переменных могут выступать геополитическая мощь и энтропия. Они обычно характеризуются нелинейными обратными связями, часто действующими с различными запаздываниями во времени.
Нелинейные модели являются более богатыми в функциональном смысле. В связи с этим существует настоятельная необходимость включения в инструментарий социально-экономического моделирования логистических уравнений, отражающих запаздывание во времени111. Их применение обеспечивает динамическое разнообразие, которое позволяет преодолеть ограниченность линейных систем, описывющих динамические процессы. В них также применяются временные лаги, но сложность математического аппарата112 не позволяет широко его применять.
Например, макроэкономическое моделирование с запаздыванием113 было использовано при исследовании тенденций развития и прогноз будущего развития после вмешательства регулятора. В частности, Р. Гудвин предложил ввести нелинейность запаздывания таким образом, чтобы полученные уравнения имели устойчивый предельный цикл. Его экономические предположения и модель вызвали ряд критических замечаний, а полвека спустя выяснилось, что им в математических преобразованиях допущена ошибка114. Вследствие этого вывод Гудвина о существовании единственного устойчивого цикла оказался ошибочным. Данный пример иллюстрирует, что применение математического аппарата с недостаточно развитой теорией может привести к неадекватным выводам, но является стимулом для дальнейшего прогресса науки.
Возможность научного изучения кризисов долгое время подвергалась сомнению в силу неповторимости и уникальности таких явлений. При их детальном изучении обнаружено много общего и, в частности, доказано, что любое событие результат самоорганизации открытой системы. Дальнейшие исследования данной проблемы привели к появлению теории катастроф, объединившей две математические дисциплины теорию гладких отображений115 и теорию бифуркаций динамических систем. Для дальнейшей работы введём некоторые необходимые понятия. Пусть и пространства переменных и соответственно, D* и D области в и . Всякое отображение определяется функциями (*). Отображение f называется гладким, если функции (*) являются гладкими функциями116.
Понятие динамической системы одна из многих полезных теоретических абстракций117. Реальные объекты и системы могут рассматриваться как динамические системы только в определённом приближении и в той мере, в какой при описании их динамики можно игнорировать их структуру и взаимодействие с окружающей средой. О динамической системе говорят в том случае, если можно указать такой набор величин, характеризующих состояние системы, что их значения в любой последующий момент времени определяются по определённому правилу из исходного набора значений. Они называются динамическими переменными, а правило оператором эволюции системы, который можно представить в виде вектора. Если её состояние задаётся набором из n величин, то динамику системы118 можно представить, как движение точки по траектории в n-мерном фазовом пространстве. В случаях, когда изучается система с дискретным временем, описываемае рекуррентными отображениями, фазовой траекторией является некоторая дискретная последовательность точек в фазовом пространстве.
Выделяют два вида динамических систем консервативные и диссапативные. Свойство консервативности в физике понимается как закон сохранения энергии. Диссапативная система это совокупность устойчивых состояний, возникающая в неравновесной среде при рассеивании энергии, которая поступает извне. Благодаря своим свойствам, она часто называется стационарной открытой системой или неравновесной открытой системой. Если мы имеем ансамбль (некоторое количество) идентичных динамических систем, у которых заданы единое фазовое пространство и оператор её эволюции, а отличаются они только начальными условиями. В фазовом пространстве они отображены виде облака отображаемых состояний. С течением времени каждая из систем будет менять свои координаты и перемещаться в фазовом пространстве в соответствии с оператором эволюции, вследствие чего форма облака будет меняться. В случае, когда его объём будет постоянным, система является консервативной и описывается уравнениями Гамильтона. Гамильтонова система с дискретным временем в самом общем случае может быть неявно выражена через производящую функцию с n переменными.
Схема 2. Консервативная (а) и диссипативная (б) системы
Диссипативные системы характеризуются тем, что с течением времени облако отображающих точек съёживается и концентрируется в одном или нескольких аттракторах119 подмножествах фазового пространстранства (траекториях). С точки зрения динамики это означает, что режим, возникший в системе, предоставленной самой себе, через некоторый период времени не зависит от её начального состояния120. Каждый аттрактор инвариантен121, т.е. траектория, начавшаяся в нём, за его пределы не выходит. При наличии в фазовом пространстве двух или более аттракторов имеет место мультистабильность, а множество точек фазового пространства, из которых траектории выводят на аттрактор его бассейном.
В реальном времени часто возникают переменные состояния, вблизи которых законы, управляющие дальнейшим состоянием данной системы, резко, т.е. без промежуточных переходов, меняются, вследствие чего происходит резкое изменение её характеристик. Этот феномен определяется как динамический хаос. Его природа наличие состояний неустойчивости внутри любой динамической системы существует область, где внешнее возмущение вызывает наибольшие последствия. Она возникает там, где системные объекты удовлетворяют определению открытости122, и порождает нелинейность. Это явление состоит в том, что отклик системы непропорционален силе воздействия на нее123, т.е. реакции на возмущения непропорциональны этим изменениям. Хаотические режимы характеризуются нерегулярным изменением динамических переменных во времени. В диссипативных системах хаос ассоциируется с наличием в фазовом пространстве странных аттракторов: фрактальных множеств, притягивающих к себе траектории из некоторой прилежащей области.
В процессе своего развития каждая система проходит две стадии: эволюционную (иначе называемую адаптационной) и революционную (скачок, катастрофа). В эволюционный период происходит медленное накопление количественных и качественных изменений параметров системы и ее отдельных элементов. В результате этого происходит скачкообразный переход количества в качества, после которого из элементов старой системы формируется новая. Она, определяется неким аттрактором, образовавшимся в процессе адаптации уцелевших элементов к изменившимся условиям внешней среды.