Ирина Краева - 100 задач с числом года. Часть 1. Выпуск 1 стр 2.

2022

2023

17. На плоскости даны N (2023) точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых, проходящих через эти точки, можно построить?

18. Сколько диагоналей имеет выпуклый N-угольник (например, 2023-угольник)?

19. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером N × N (например, 2023 × 2023) две ладьи так, чтобы они не угрожали друг другу?

20. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером N × N (например, 2023 × 2023) ладьи в количестве N (2023) штук так, чтобы они не угрожали друг другу?

Сравнение чисел

Сравните предложенные числа

21. (10000N + (N  1)) × (10000N + (N +1)) и (10001N)

 2

Например, 20232022  20232024 и 20232023

2

22. N N

 +1

Например, 2023

2024

2023

23. N N и (N +1) N

  1

Например, 2023

2023

2022

24. N N и (N  1) N

 +1

Например, 2023

2023

2024

25. ((N  1) N

  1

 1

Например, (2022

2022

2023

2023

2022

26. (N N

 +1

+1

Например, (2023

2024

2023

2023

2024

27. ((N  1) N 

1

Например, (2022

2022

2023

2023

2022

28. (N!)

2

2

2

29. 2lg (N + (N +1)) и lgN + lg (N +1).

Например, 2lg (2023 +2024) и (lg2023 + lg2024).

30. logN

  1

2

 +1

2

Например, log

 2022

2

2024

2

Уравнения

3142. Решить квадратные уравнения, коэффициенты которых являются «удобными» комбинациями чисел ± 1; ± (N  1); ± N, то есть, чтобы либо сумма коэффициентов была равна нулю, либо сумма первого и третьего была равна второму.

Например,

31) 2023x

2

32) 2023x

2

33) 2023x

2

34) 2023x

2

35) 2022x

2

36) 2022x

2

37) 2022x

2

38) 2022x

2

39) x

2

40) x

2

41) x

2

42) x

2

Решите уравнения

43. (x + N  1)

2

2

2

Например, (x +2022)

2

2

2

44. (x + N  1)

2

2

2

Например, (x +2022)

2

2

2

45. (x + N  1)

2

2

2

Например, (x +2022)

2

2

2

46. (x + N  1)

2

3

2

Например, (x +2022)

2

3

2

47. (x + N  1)

2

3

2

Например, (x +2022)

2

3

2

48. (x + N  1)

2

3

4

Например, (x +2022)

2

3

4

49. (x

2

2

Примечания

1

Что это такое и «с чем его едят» можно посмотреть, например, тут: «Математический календарь. 2018»

2

Сообщество в соцсети ВКонтакте «Математические лайфхаки».