Таким образом, в результате достаточно простых умозаключений инвестор может отдать предпочтение как портфелю А, так и портфелю В. Значение вероятности отрицательной доходности в соответствии с соотношением (1.7) зависит не только от величины СКО дохода , но и от цены покупки портфеля и МО дохода . Следовательно, СКО дохода не может служить в качестве меры инвестиционного риска изолированно от цены покупки портфеля и МО дохода, а мерой автономного и портфельного рисков может быть только вероятность отрицательной доходности актива или портфеля активов.
В общем случае решение проблемы выбора портфеля на основе логического анализа взаимозависимых параметров активов не представляется возможным. Например, задача выбора наилучшего из двух портфелей А и В (рис. 1.1) при одинаковых ценах покупки тыс. долл. на основе подобных логических умозаключений вряд ли разрешима. Для решения такой задачи необходим инструмент определения МО доходности актива, при которой компенсируется риск отрицательной доходности.
1.4. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение доходности портфеля активов
С целью снижения инвестиционного риска инвесторы распределяют капитал, как правило, между несколькими видами ценных бумаг, т.е. формируют портфель активов.
Следует отметить, что поскольку текущие курсы ценных бумаг являются случайными величинами, то и текущие стоимость и доходность портфеля активов также случайны. Из теории вероятностей известно следующее свойство композиции (суммы) случайных величин: при композиции достаточно большого числа случайных величин с произвольными плотностями распределения суммарная плотность распределения результирующей случайной величины оказывается сколь угодно близка к нормальной вне зависимости от того, каковы были плотности распределения слагаемых [2]. При композиции двух или более случайных величин с нормальными плотностями распределения результирующая случайная величина всегда имеет нормальную плотность распределения [2]. Причём МО и дисперсия (квадрат СКО) результирующей случайной величины рассчитываются как суммы МО и дисперсий (квадратов СКО) слагаемых случайных величин. Следовательно, текущие стоимость и доходность портфеля активов можно полагать нормально распределёнными.
Необходимость формирования портфеля активов обусловлена двумя причинами.
Вопервых, всегда существует риск дефолта (неплатежа) эмитентов ценных бумаг. Очевидно, портфель, содержащий сравнительно небольшое количество активов (например, одну ценную бумагу), обладает катастрофическим риском. Это означает, что в случае дефолта одного из эмитентов инвестор понесёт недопустимо большие потери, сравнимые со стоимостью всего портфеля.
В литературе встречается термин «хорошо диверсифицированный портфель» портфель, в котором предельно сокращён максимальный объём инвестиций в один рискованный актив. Подразумевается, что владелец такого портфеля в случае наступления негативного события психологически готов к относительно небольшим и прогнозируемым потерям. Считается, что хорошо диверсифицированный портфель должен содержать не менее 20 видов активов. При таком количестве видов активов в портфеле в случае дефолта одного из эмитентов инвестор не теряет шансы на получение дохода.
Вовторых, диверсификация инвестиций приводит к уменьшению СКО стоимости и доходности портфеля и, как следствие, к снижению риска отрицательной доходности портфеля. Согласно портфельной теории Г.Марковица инвестор стремится оптимизировать структуру портфеля таким образом, чтобы МО доходности было максимальным, а СКО доходности минимальным. Такой портфель должен содержать около 3040 видов ценных бумаг компаний, действующих в различных отраслях [5, 6].
Определим МО и СКО доходности портфеля активов, используя при этом известные положения теории вероятностей теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин [2].
Математическое ожидание доходности портфеля активов. В соответствии с соотношением (1.3) для оценки МО доходности портфеля, содержащего видов активов, необходимо определить цену покупки портфеля, МО капитального дохода и дивидендный доход портфеля.
При наличии в портфеле нескольких видов активов цена покупки портфеля составляет
где количество активов iго вида (эмитента) в портфеле; цена покупки одного актива iго вида; объём инвестирования в актив iго вида.
Если МО капитального дохода актива iго вида равно , то МО капитального дохода совокупности активов одного вида составляет .
Математическое ожидание капитального дохода портфеля, который содержит видов ценных бумаг, равно
Тогда соотношение для МО капитальной доходности портфеля можно преобразовать к виду
где относительный объём инвестирования в один актив iго вида (доля актива iго вида в стоимости портфеля); математическое ожидание капитальной доходности актива iго вида.
Необходимо отметить, что в полученном соотношении:
математическое ожидание капитальной доходности портфеля является не чем иным как средневзвешенной капитальной доходностью активов, входящих в портфель;
и в частном случае, когда объёмы инвестирования в активы одинаковы, .
Аналогичным образом определим дивидендную доходность портфеля активов
где дивидендный доход актива iго вида; дивидендная доходность актива iго вида.
Математическое ожидание доходности портфеля активов в целом составляет
где математическое ожидание доходности актива iго вида.
В литературе по теории инвестиций широко используется понятие средняя доходность ценных бумаг по видам, отраслям, за определённый промежуток времени и т.п. (см. табл. 1.2 и табл. 17.2 [1], табл. 6.5 [5], табл. 2.4 [6], табл. 28.1 и табл. 30.1 [7]). При этом под средней доходностью понимается среднеарифметическая доходность. Например, в табл. 1.2 [1] приведены данные за 68летний период годовых доходностей трёх видов активов акций, облигаций и казначейских векселей. На основе этих данных с использованием известной формулы рассчитаны среднегодовые (среднеарифметические) доходности каждого вида актива. То есть вес годовых доходностей безосновательно принят одинаковым . По этой причине полученные в табл. 1.2 [1] результаты расчётов среднегодовых доходностей активов и соответствующие выводы не могут заслуживать доверия.
Недопустимость подобного рода расчётов хорошо иллюстрируется простым примером. Предположим портфель содержит два актива А и В. Актив А был приобретён за 10 долл. и продан за 20 долл., а актив В приобретён за 100 долл. и продан за 120 долл. (капитальные доходности активов соответственно равны и , относительные объёмы инвестирования и . Согласно приведенным выше формулам получаем средневзвешенную и среднеарифметическую капитальную доходность
Результаты расчётов отличаются весьма существенно, что свидетельствует о недопустимости определения средней доходности (МО) портфеля активов без учёта их долей в стоимости портфеля.
Среднее квадратическое ожидание доходности портфеля активов. Если дисперсия дохода (стоимости) актива iго вида равна , то дисперсия дохода портфеля, который содержит активов одного вида, составляет .
Дисперсия дохода портфеля, который содержит N видов активов, равна [1, 2]
где коэффициент корреляции доходов (стоимости) активов iго и jго видов.