Достижимое множество портфелей, содержащих рискованных активов. Как следует из предыдущего примера, изза громоздких формул уже при для определения достижимого множества целесообразно использовать исключительно численные методы.
На конкретном примере рассмотрим особенности достижимого множества портфелей, которые содержат десять активов () с коррелированными доходностями и параметрами, приведенными в табл. 1.3.
Таблица 1.3
Параметры активов
Активы
Параметры
активов
А
1
А
2
А
3
А
4
А
5
А
6
А
7
А
8
А
9
А
10
13,0
12,0
11,0
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
0,400
0,378
0,356
0,333
0,311
0,289
0,267
0,244
0,222
0,200
На рис. 1.5 представлено достижимое множество портфелей для всех возможных сочетаний относительных объёмов инвестирования в каждый актив. Сравнительный анализ рис. 1.4 и 1.5 показывает, что при и особенности построения, характер заполнения внутренней области и форма внешних границ достижимых множеств качественно идентичны.
Рис. 1.5. Достижимое множество портфелей , которые содержат десять активов
Следует отметить, что, вопервых, портфель, соответствующий точке , обладает минимальным значением СКО доходности из всего достижимого множества. Вовторых, некоторые инвесторы отдают предпочтение портфелям с равномерным распределением объёмов инвестирования в каждый актив . На достижимом множестве рис. 1.5 такой вариант портфеля (т.е. при ) соответствует точке (, ). Втретьих, как правило, для снижения рисков инвестор ограничивает максимальный объём инвестирования в iый тип актива. Например, ограничение максимального объёма инвестирования в каждый актив до 20% приводит к сжатию достижимого множества, как это показано на рис. 1.5 в виде выделенной пунктирной линией внутренней области достижимого множества . Данная область окружает точку , которая соответствует портфелю с равномерным распределением объёмов инвестирования.
Таким образом, при рискованные активы порождают достижимое множество портфелей, которое по своим основным качественным характеристикам идентично достижимому множеству портфеля, содержащего три актива.
Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый и рискованных активов. Представим совокупность из рискованных активов как актив с параметрами
Учитывая соотношения (1.12), (1.13), (1.20) и (1.21), получаем
здесь .
То есть комбинацию безрискового актива с совокупностью рискованных активов с объёмами инвестирования можно представить как комбинацию безрискового актива с одним рискованным активом . Для такой комбинации активов достижимое множество портфелей находится на отрезке прямой, соединяющей точки и .
Анализ полученных соотношений показывает, что относительный объём инвестирования в iый рискованный актив портфеля составляет , но доли рискованных активов по стоимости актива остаются неизменными.
На рис. 1.6 представлено достижимое множество портфелей , которые содержат комбинацию безрискового актива и совокупность рискованных активов .
Рис. 1.6. Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый актив и совокупность рискованных активов
Анализ рис. 1.6 показывает, что, вопервых, участок границы достижимого множества является частью границы достижимого множества . Вовторых, две границы достижимого множества и являются отрезками прямых, исходящих из точки, соответствующей безрисковому активу . Нижний отрезок прямой представляет портфели, являющиеся комбинациями актива и рискованного актива с наименьшим уровнем МО доходности . Отрезок прямой представляет комбинацию безрискового актива и портфеля . Эта прямая в точке является касательной к дуге гиперболы. Портфель называют «касательным портфелем» [1].
Таким образом, комбинация безрискового актива и совокупности рискованных активов порождают достижимое множество портфелей, которое в графической интерпретации включает, вопервых, достижимое множество портфелей рискованных активов и, вовторых, часть плоскости между двумя отрезками прямых, исходящих из точки и ограниченных касательным портфелем и рискованным активом с наименьшим МО доходности .
Достижимое множество портфелей, содержащих рискованные активы и активы с фиксированной доходностью. Хорошо диверсифицированный портфель может содержать не только рискованные активы, но активы с фиксированной доходностью, к которым относятся банковские депозиты, привилегированные акции, облигации, в том числе и безрисковый актив. Так называемый «рыночный портфель» [1] содержит всю номенклатуру ценных бумаг, обращающихся на рынке.
Среднеквадратическое отклонение доходности активов с фиксированной доходностью равно нулю. Поэтому такие активы подобны безрисковому активу. Предположим, что из всей совокупности активов с фиксированной доходностью актив обладает максимальной доходностью, а безрисковый актив минимальной.
На рис. 1.7 представлено достижимое множество портфелей , которые содержат комбинацию активов с фиксированной доходностью и совокупность рискованных активов .
Рис. 1.7. Достижимое множество портфелей, содержащих активы с фиксированной доходностью и совокупность рискованных активов
Анализ рис. 1.7 показывает, что прямолинейный участок верхней границы достижимого множества формируется активом и касательным портфелем . Прямолинейный участок нижней границы достижимого множества формируется безрисковым активом и активом . Все остальные возможные портфели находятся внутри достижимого множества . Следует отметить, что касательный портфель , который занимает особое место в портфельной теории, располагается не на границе достижимого множества , а в его внутренней области.
1.6. Эффективное множество портфелей
Границу достижимого множества на рис. 1.4 и 1.5 называют «эффективным множеством портфелей» [1]. Эффективным множеством портфелей, содержащих комбинацию безрискового актива и совокупность рискованных активов, является граница (рис. 1.6). На рис. 1.7 эффективным множеством портфелей является граница .
Портфель считается эффективным, если никакой другой портфель из достижимого множества не обеспечивает более высокое значение МО доходности при фиксированном уровне СКО доходности или имеет минимальный уровень СКО доходности из совокупности портфелей с одинаковым МО доходности [1]. Данное положение иллюстрируется рис. 1.8.
Рис. 1.8. Достижимое и эффективное множества портфелей
На рис. 1.8 представлено достижимое множество портфелей , во внутренней области которого расположен портфель с МО доходности и СКО доходности .
Очевидно, что совокупность портфелей из достижимого множества с равными СКО доходности равноценны по устойчивости доходности. Но портфель из данной совокупности, расположенный на границе достижимого множества , обладает наибольшим МО доходности и по этой причине является для инвестора наиболее привлекательным.
Совокупность портфелей из достижимого множества с равными МО доходностей равноценны по уровню МО доходности. Но портфель из данной совокупности, расположенный на границе достижимого множества , имеет минимальное значение СКО доходности, т.е. обладает наибольшей устойчивостью доходности и по этой причине является для инвестора наиболее привлекательным.
По этим причинам портфель , находящийся во внутренней области достижимого множества, по отношению к портфелям и неэффективен, поскольку инвестор без дополнительных затрат, исключительно путём целенаправленного распределения финансовых ресурсов может добиться более высокого МО доходности инвестиций или более высокой устойчивости доходности.