Часть I. Трудное рождение теории упругости
Глава 1
Почему конструкции выдерживают нагрузки, или упругость твердых тел
Давайте начнем с самого начала, с Ньютона, который сформулировал основной законмеханики: действие равно противодействию по величине и противоположно ему понаправлению. Это означает, что каждая сила должна быть сбалансирована точнотакой же по величине силой противоположного направления. При этом природа силне имеет никакого значения. Например, сила может быть создана каким-либонеподвижным грузом. Предположим, я стою на полу, мой вес 75 кг. Следовательно,мои подошвы давят на пол с силой 75 кг, которая направлена вниз; это дело моихступней. В то же самое время пол должен давить на мои подошвы с той же силой 75кг, направленной вверх; эта сила исходит от пола. Если доски пола окажутсяподгнившими и не смогут обеспечить силу 75 кг, я неминуемо провалюсь. Но есликаким-то чудом пол сообщит мне силу, большую, чем та, которую требовал мой вес,скажем 75,5 кг, то я - ни много ни мало - взлечу.
Почему мы не проваливаемся сквозь пол
Джеймс Гордон
Мы могли бы начать с вопроса: как получается, что любое неодушевленноетвердое тело - из стали, камня, дерева или пластмассы - вообще способнооказывать сопротивление механической силе или хотя бы выдерживать свойсобственный вес. Это, в сущности, задача о том, "почему мы не проваливаемсясквозь пол", и ответ на нее вовсе не очевиден. Он лежит в основе целойнауки о конструкциях, и здесь есть над чем подумать. Так или иначе, ноэта проблема оказалась слишком трудной для Галилея, и честь первым ее понятьпринадлежит столь придирчивому человеку, как Роберт Гук (1635-1702).
В первую очередь Гук понял, что в тех случаях, когда материал или конструкцияоказывает сопротивление действию нагрузки, это возможно только за счетих ответного действия на тело, создающее эту нагрузку, с силой, равнойпо величине и противоположной по направлению. Если ваши ноги давят на полвниз, то пол должен давить на ваши ноги вверх. Если кафедральный собордавит вниз на свое основание, то основание должно давить вверх на собор.Это подразумевается в третьем законе Ньютона, который, напомним, гласит,что действие и противодействие равны по величине и противоположны по направлению.
Другими словами, сила не может исчезнуть просто так. Всегда и во всехслучаях каждая сила должна быть уравновешена другой силой, равной ей повеличине и противоположной по направлению, в каждой точке конструкции.Это справедливо для любых конструкций независимо от того, малы ли они ипросты или велики и сложны. Это справедливо не только для полов и соборов,но и для мостов и самолетов, воздушных шаров и мебели, львов и тигров,капусты и земляных червей. Если это условие нарушено, то есть если где-тонарушено статическое равновесие, то либо конструкция развалится, либо онадолжна взлететь подобно ракете и исчезнуть из поля зрения. (Нередко последнеескрыто следует из ответов будущих инженеров на экзаменах.)
Представим на минуту простейшую из возможных конструкций. Предположим,что мы подвешиваем с помощью веревки груз, например обыкновенный кирпич,к опоре, которой может быть ветка дерева (рис. 1). Вес кирпича, как и весньютоновского яблока, обусловлен воздействием гравитационного поля Землина его массу, и сила веса всегда направлена вниз. Кирпичу не суждено упасть,если его удерживает в воздухе постоянно действующая сила, равная по величинеего весу и направленная вверх - в данном случае натяжение веревки. Есливеревка слишком слаба и не может создать направленную вверх силу, равнуювесу кирпича, то она неминуемо оборвется и кирпич упадет на Землю, какупало ньютоновское яблоко.
Рис. 1. Направленная вниз сила веса кирпича должна бытьуравновешена равной по величине и противоположной по направлению силойнатяжения веревки
Но если веревка достаточно крепкая и на нее можно подвесить не один,а два кирпича, то она должна создать вдвое большую силу вверх, которойбудет достаточно, чтобы удержать оба кирпича. То же самое справедливо идля любых других изменений нагрузки. Кроме того, нагрузка - это не всегдаобязательно "мертвый" вес, подобный нашему кирпичу; всякой силе, напримернапору ветра, должно быть оказано такое же противодействие.
Если кирпич подвешен к ветке дерева, то груз удерживается за счет растяженияверевки, другими словами, за счет натяжения. Во многих конструкциях, таких,как здания, нагрузка выдерживается за счет сжатия, давления. И в том ив другом случае общий принцип не меняется. Таким образом, всякая конструкция,предназначенная для выполнения определенных функций, то есть должным образомвыдерживать нагрузку, чтобы не происходило ничего непредвиденного, должнасуметь каким-либо образом создать давление или натяжение, в точности равноепо величине и противоположное по направлению приложенной к ней силе. Иначеговоря, конструкция должна оказывать сопротивление всем возможным внешнимнатяжениям и давлениям посредством ответных растяжений и сжатий нужнойвеличины.
Все это очень хорошо, и не составляет особого труда понять, почему нагрузкасжимает или растягивает конструкцию. Но гораздо сложнее представить себе,как конструкция должна в ответ давить на тело, создающее нагрузку (илирастягивать его). Случается, об этой проблеме подозревают совсем маленькиедети.
- Да не тяни же кошку за хвост!
- Я не тяну, мама, тянет Пусси.
В случае с кошкиным хвостом противодействие создано биологическими процессамив мышцах кошки, развивающих усилие, противоположное усилию, которое создаютмышцы ребенка, но этот вид активного мышечного противодействия не является,конечно, ни очень распространенным, ни необходимым.
Если бы кошкин хвост оказался закрепленным на чем-то неживом, напримербыл привязан к стене, то "тянуть" должна была бы стена; создает ли сопротивлениетянущему ребенку кошка (активно) или стена (пассивно), безразлично какдля ребенка, так и для хвоста (рис. 2).
Но как неживой, пассивный предмет, такой, как стена или веревка, кость,стальная балка или собор, может создавать необходимые силы противодействия?
Рис. 2. а. - Да не тяни же кошку за хвост! - Я не тяну, мама, тянет Пусси.
Рис. 2. б. Пусси ли тянет или нет, значения не имеет.
Закон Гука, или упругость твердых тел
Сила любого упругого тела находится в постоянном отношении с удлинением,поэтому если одна сила растягивает или изгибает его на определенную величину,то две силы будут изгибать его на две такие величины, три - на три и так далее.И это есть Правило, или Закон, Природы, в соответствии с которым и происходятвсе виды Восстанавливающего, или Упругого, движения.
Роберт Гук
Уже в 1676 г. Гук ясно понимал не только то, что сопротивление твердыхтел силам веса или другим механическим нагрузкам создается посредствомсил противодействия, но и то, что, во-первых, под механическим воздействиемвсякое твердое тело меняет свою форму, растягиваясь или сжимаясь, а во-вторых,именно это изменение формы и позволяет твердому телу создавать силу противодействия.
Когда мы на конец веревки подвешиваем кирпич, веревка удлиняется, икак раз это удлинение и позволяет веревке тянуть кирпич вверх и удерживатьего от падения. Все материалы и конструкции, хотя и в очень различной степени,под действием нагрузки испытывают смещения (рис. 3).
Рис. 3. Все материалы и конструкции, хотя и в весьма различной степени, поддействием нагрузки испытывают смещения. Теория упругости - это наука осоотношениях между нагрузками и перемещениями в твердых телах. Под действиемвеса обезьяны материал ветки растянут у ее верхней поверхности и сжат у нижней.
Важно осознать, что возникновение смещений в любой и каждой конструкциивследствие действия нагрузки является совершенно нормальным. Если эти смещенияне слишком велики с точки зрения целей, которым служит конструкция, ихвозникновение - отнюдь не "дефект" в том или ином смысле, а важное свойство,без которого ни одна конструкция не могла бы работать. Теория упругости- это наука о соотношениях между силами и смещениями в материалах и конструкциях.
Хотя под действием веса или других механических сил все твердые тела в той илииной степени деформируются, величины смещений, которые встречаются на практике,могут изменяться в огромных пределах. Так, в растении, куске резины смещения,как правило, велики и их легко наблюдать, а в случаях, когда мы прикладываемобычные нагрузки к таким твердым веществам, как металл, бетон или кость,смещения на самом деле иногда оказываются очень малыми. Хотя такие перемещениячасто бывают далеко за пределами возможностей невооруженного глаза, онисуществуют всегда и совершенно реальны, даже если для их измерения требуютсяспециальные приборы. Если вы взберетесь на колокольню кафедрального собора, врезультате добавления вашего веса он станет ниже, пусть на весьма малуювеличину, но действительно ниже. Каменная кладка на самом деле оказываетсяболее гибкой, чем можно было бы предполагать. Вы можете убедиться в этом,посмотрев на четыре главные колонны, поддерживающие колокольню собора вСолсбери: все они заметно изогнуты (рис. 4).