Так как сила — вектор, две силы складываются вместе согласно правилам сложения векторов. Если одна сила прикладывается к телу в одном направлении, а другая, равная ей сила прикладывается в противоположном направлении, сумма этих двух сил равна нулю; в таком случае, несмотря на то что силы приложены, тело, к которому они приложены, не изменяет свою скорость. Если оно находится в состоянии покоя, то оно и остается в покое. Фактически в каждом случае, когда тело в реальном мире находится в состоянии покоя, мы можем быть уверенными, что это не подразумевает, что не имеется никаких сил, которые могли бы изменить его состояние. Всегда на него действуют какие-либо силы (сила тяготения, как минимум). Если тело находится в состоянии покоя или постоянного движения, то это потому, что имеется более чем одна сила, и векторная сумма всех приложенных сил равна нулю.
Если векторная сумма всех приложенных к телу сил не равна нулю, то имеется неуравновешенная сила (упомянутая в моем определении первого закона Ньютона), или суммарная сила. Надо понимать, что всякий раз, когда я говорю о силе, приложенной к телу, я подразумеваю равнодействующую (результирующую) силу.
Специфическая сила может оказывать один из нескольких эффектов на перемещающееся тело. Сила тяжести, например, направлена вниз, к земле, и падающее тело, перемещающееся в направлении гравитационного притяжения, двигается со все возрастающей скоростью, испытывая при этом ускорение в 9,8 м/с2.
Тело, брошенное вверх, наоборот, перемещается в направлении, противоположном направлению силы тяжести. Следовательно, его как будто тянет назад силой, заставляя перемещаться все медленнее. Это, наконец, приводит к тому, что тело останавливается, полностью изменяет свое направление движения и начинает падать. Такое изменение скорости может называться «замедлением» или «отрицательным ускорением». Однако было бы удобно, если бы специфическая сила, как та, которую мы рассматриваем, производила бы специфическое ускорение. Чтобы избежать разговоров о замедлении, мы вместо этого будем говорить об отрицательной скорости.
Другими словами, будем считать, что скорость является вектором. Это означает, что движение со скоростью 40 м/с вниз — не идентично движению со скоростью 40 м/с вверх. Самый простой способ обозначить различия между противоположными величинами состоит в том, чтобы обозначить одну величину положительным, а другую отрицательным значением. Поэтому будем говорить, что нисходящее движение равно +40 м/с, а восходящее равно -40 м/с.
Так как нисходящая сила порождает и нисходящее ускорение (ускорение также является вектором), мы можем выразить размер ускорения, вызванного действием силы тяжести, не как просто 9,8 м/с2, но и как +9,8 м/с2.
Если тело перемещается со скоростью +40 м/с (вниз, другими словами), эффект ускорения должен увеличить это число. Сложение двух положительных чисел векторным способом дает результат, аналогичный полученному от обычного сложения, поэтому после первой секунды тело перемещается со скоростью +49,8 м/с, после другой секунды +59,6 м/с и так далее. Если, с другой стороны, тело перемещается со скоростью -40 м/с (вверх), векторное сложение положительной и отрицательной величин аналогично обычному вычитанию, поскольку изменяется только сама величина. Таким образом, после первой секунды тело будет перемещаться со скоростью -30,2 м/с, после двух секунд -20,4 м/с и после четырех секунд -0,8 м/с. Вскоре после четырехсекундной отметки тело достигнет скорости 0 м/с, и в этой точке оно придет к мгновенной остановке. Тогда оно начнет падать, и после пяти секунд его скорость будет +9,0 м/с.
Как мы можем видеть, ускорение, вызванное силой тяжести, одно и то же независимо от того, перемещается ли тело вверх или вниз, и все же имеются различия в этих двух случаях. Тело покрывает все большее расстояние за каждую секунду нисходящего движения, но все меньшее расстояние за каждую секунду восходящего движения. Величина расстояния, которое проходит тело за единицу времени, мы называем «скоростью».
В разговорной речи скорость и векторная скорость — синонимы, другое дело — в физике. Скорость — скалярная величина и не включает в себя направление. Объект, перемещающийся на север со скоростью 16 м/с движется с той же скоростью, что и объект, перемещающийся на восток со скоростью 16 м/с, но эти два объекта перемещаются с различной векторной скоростью. При определенных обстоятельствах можно направить силу таким образом, чтобы заставить тело двигаться кругами. Скорость в таком случае может не изменяться вообще, но векторная скорость (которая включает в себя направление) будет постоянно меняться.
Из этих двух терминов термин «векторная скорость» используется физиками намного чаще, поскольку это — более широкий и более удобный термин. Например, мы могли бы определять силу как «то, что изменяет скорость тела или направление его движения, или и то и другое» или как «то, что изменяет вектор скорости тела» — это более краткая, но сохраняющая первоначальное значение фраза.
Так как изменение в скорости — это ускорение, мы могли бы также определять силу как «то, что прикладывает ускорение к телу, причем ускорение и сила приложены в одном том же направлении».
Первый закон Ньютона объясняет концепцию силы, но, чтобы позволить нам измерить величину силы, необходимо еще что-то. Если мы определяем силу как то, что порождает ускорение, казалось бы логичным измерить размер силы размером ускорения, которое ее вызывает. Это имеет смысл, когда мы ограничиваем себя рассмотрением одного специфического тела, например баскетбольного мяча. Если мы толкаем баскетбольный мяч по земле с постоянной силой, он перемещается все быстрее и после десяти секунд такого перемещения развивает скорость, например, 2 м/с. Его ускорение — 2 м/с поделить на 10 секунд — 0,2 м/с2. Но если вы опять начнете с нуля и будете толкать мяч не так сильно, то после десяти секунд баскетбольный мяч будет перемешаться со скоростью только 1 м/с и поэтому подвергнется ускорению, равному только лишь 0,1 м/с2. Так как в первом случае ускорение в два раза больше, чем во втором, кажется справедливым предположить, что и сила в первом случае была в два раза больше, чем во втором.
Но если бы вы попробовали применить те же самые силы к твердому пушечному ядру вместо баскетбольного мяча, то обнаружили бы, что пушечное ядро не будет подвержено таким же ускорениям, как указаны выше. Потребуется применить гораздо большую силу для того, чтобы вообще заставить пушечное ядро двигаться.
Опять же, когда баскетбольный мяч катится со скоростью 2 м/с, вы можете достаточно легко его остановить. Изменение скорости с 2 м/с до 0 м/с требует приложения силы, и вы вполне можете создать достаточную силу, чтобы остановить баскетбольный мяч. Или вы можете пнуть баскетбольный мяч во время его движения и таким образом заставить его изменить направление движения. Пушечное же ядро, перемещающееся со скоростью в 2 м/с, однако, может быть остановлено только приложением очень большого усилия, и, если пнуть его во время движения, это изменит его направление весьма незначительно (а вы отобьете ногу).
Пушечное ядро, другими словами, ведет себя так, как если бы оно обладало большим количеством инерции, чем баскетбольный мяч, и поэтому требует соответственно большего количества силы для получения заданного ускорения. Ньютон использовал термин «масса», чтобы указать величину инерции, которой обладает тело. Таким образом, его второй закон движения гласит: «Ускорение, полученное в результате действия какой-либо силы, действующей на тело, — прямо пропорционально величине этой силы и обратно пропорционально массе тела».
Как я уже объяснил, когда x считают прямо пропорциональным к y, это означает, что x = ky. С другой стороны, если мы говорим, что х является обратно пропорциональным к другой величине, например z, то мы подразумеваем, что любое увеличение z приводит к уменьшению х на соответствующую величину, и наоборот. Таким образом, если z увеличена в три раза, х получается равным 1/3; если z увеличена в одиннадцать раз, x получается равным 1/11, и так далее. Математически это понятие обратной пропорции наиболее просто может быть выражено как x ~ 1/z, тогда, когда z равно 3, х равна 1/3, когда z удваивается до 6, x в два раза уменьшается и становится равным 1/6 и так далее. Мы можем заменить пропорциональность на равенство, умножив какую-либо часть на константу таким образом, чтобы величина x была обратно пропорциональна z, то есть x = ky/z. Но если x является одновременно прямо пропорциональной к y и обратно пропорциональной к z, то это означает, что x = ky/z.
Учитывая это, давайте обозначим ускорение как a, величину силы как f, а массу тела как m. Тогда второй закон движения Ньютона приобретает такой вид:
Давайте теперь рассмотрим единицы, в которых будем измерять каждую из величин, начиная с массы, так как мы пока еще не упоминали ее в этой книге. Вы можете подумать, что, если я говорю, что пушечное ядро более массивно, чем баскетбольный мяч, я подразумеваю, что оно и более тяжелое. На самом деле я так не делаю. «Массивный» — не то же самое, что «тяжелый», и «масса» — не то же самое, что «вес», как я объясню вам чуть позже в этой книге. Однако между этими двумя концепциями имеется некоторое подобие, и их часто путают. В повседневной жизни, по мере того как тела становятся более массивными, они также становятся и более тяжелыми, кроме того, физики тоже внесли свой «элемент беспорядка», используя для измерения массы тела единицы, которые нефизики обычно считают единицами веса.
В метрической системе измерений приняты две основные единицы измерения массы тела — грамм (г) и килограмм (кг). Грамм — мелкая единица измерения массы. Например, кварта молока имеет массу приблизительно 975 граммов. Килограмм, как вы и можете ожидать (от приставки), равен 1000 граммам и, таким образом, представляет собой массу чуть больше, чем кварта молока.
(В обычных единицах массу часто представляют в виде «унций» и «фунтов», эти единицы также используют и для веса. В этой книге, однако, я буду ограничиваться метрической системой, насколько это представится возможным, и буду использовать обычные единицы, например кварты, только тогда, когда они действительно необходимы для ясности.)
При измерении величины силы необходимо рассматривать две величины: ускорение и массу. При использовании метрических единиц ускорение обычно имеет размерность м/с2 или см/с2, в то время как масса измеряется в г или кг. Традиционно всякий раз, когда расстояние дается в метрах, масса дается в килограммах, то есть в сравнительно больших единицах. С другой стороны, всякий раз, когда расстояние дается в сравнительно мелких единицах — сантиметрах, масса тоже дается в сравнительно мелких единицах — граммах. В любом из указанных случаев единица времени — секунда.
Следовательно, единицы измерения многих физических величин могут быть составлены из сантиметров, граммов и секунд в различных комбинациях или из метров, килограммов и секунд в различных комбинациях. Первый вариант известен как система СГС, второй вариант — как система МКС. Еще полвека назад более часто использовали систему СГС, но теперь более популярной стала система МКС. В этой книге я буду использовать обе системы.