Алексей Владимирович Савватеев - Математика для гуманитариев: живые лекции стр 6.

Слушатель: В любом случае?

А.С.: В любом. Как ни экспериментируй, что ни делай, чему бы х ни равнялось, х = 200, х = 300, ... Но у = 12. Ровно 12, не 12 ООО, не 120. От размера мяча не зависит, от размера лоскутков не за­висит, от того, как сшивать, не зависит. Этоматематическая теорема.

Слушатель: Невероятно...

А.С.: Есть абсолютное доказательство этой теоремы. Если вы хотите сшить футбольный мяч из пятиугольников и шестиуголь­ников, пятиугольников обязательно будет ровно 12.

Слушатель: Какой диаметр?

А.С.: Не важно: ни диаметр, ни размер лоскутков, ни то, как сшивать. Вы никогда не сошьете ничего другого. Какие бы прика­зы не издавала... ну, скажем, фабрика «Спортинвентарь». Ска­жем, придет к власти новая футбольная партия и скажет: «Отны­не сшивать мячи так, чтобы в них было поровну шестиугольников и пятиугольников». Тогда их обязательно будет 12 к 12.

Слушатель: То есть такое тоже может быть? Прямо 12 к 12?

А.С.: Да. А знаете, как еще может быть? Ноль шестиугольни­ков и 12 пятиугольников. Ни одного шестиугольника, одни пяти­угольники.

Слушатель: А зачем тогда шестиугольники?

А.С.: Видимо, для того, чтобы мяч был гладкий. Ноль шести­угольников12 пятиугольников. 200 шестиугольниковвсё рав­но 12 пятиугольников.

Слушатель: Скажите, а вот эта теорема появилась уже после футбольного мяча? Или футбольный мяч появился раньше?

А.С.: Футбольный мяч появился «чуть-чуть» раньше. Если честно, теорему эту полностью осознали примерно 150 лет назад. Но этот результат, как и очень многие другие, должен быть отнесен к Эйлеру. Леонард Эйлер жил больше половины жизни в Петер­бурге и похоронен там же на Смоленском лютеранском кладбище. Он ввел в математику понятие инварианта. Эйлер показал, что есть в математике такие вещи, которые не меняются, что бы ты ни делал. И настоящая математикаэто поиск таких вещей. Эйлер доказал потрясающую по красоте формулу, сейчас я ее нарисую, а может быть, даже докажу. Кстати, есть такой архитектурный объект «Монреальская Биосфера» или геодезический купол, со­зданный Ричардом Фуллером Бакминстером. Гигантский сегмент шара, чуть больше, чем полушар, составленный из маленьких ше­стиугольников. Я, когда его увидел, сказал: «Нет. Нет. Нет... Вы не правы, там не могут быть все шестиугольники, либо он сильно искривлен, либо там где-то живут пятиугольники. Ищите».

Мне говорят: «Алексей, как вы это угадали? Мы нашли 5-уголь­ники». Эта конструкция не полный шар, поэтому в ней не 12, а при­мерно 7 пятиугольников. Как же я узнал? Теорема, математика. Она же универсальная для всего. Что абсолютно одинаково в Рос­сии, в Канаде и в Америке? Только математика.

Слушатель: Положение этих пятиугольников, оно тоже опре­делено?

А.С.: Нет. Можно их все сцепить в одном месте. Только полу­чится сильно искривленная форма. Лучше пятиугольники разне­сти. Пятиугольники отвечают за искривление. А что такое искри­вление? Беру Земной шар и рисую на нём треугольник (рис. 24).

На Земном шаре есть где развернуться. Одну из вершин возь­мем на Северном полюсе, две другиена экваторе. А сторонами треугольника, как и положено в геометрии, будем считать отрез­ки двух меридианов и отрезок экватора (ведь по ним измеряется кратчайшее расстояние между точками на земной поверхности!).

Вот и получился у нас равнобедренный треугольник, у которого оба угла при основании прямые. А угол при Северном полюсе любой. Так давайте возьмем его тоже прямым!!!

У нарисованного нами треугольника все углы прямые. Такого не бывает на плоскости. Это геометрия шара, поверхности шара, и вот с этой геометрией связан рассматриваемый нами факт. Он открывает очень глубокую теорию дифференциальную геомет­рию, а также теорию римановых многообразий. Вернемся к фут­больному мячу, состоящему из х шестиугольников и у пятиуголь­ников, и к нашей «неожиданной теореме».

Слушатель: Кратен ли х чему-нибудь?

А.С «ж» может быть равен чему угодно. А вот «у» обязательно равен 12.

Слушатель: То есть четное, нечетное не важно.

А.С.: Абсолютно.

Слушатель: То есть мы можем сделать шар из 130 шестиуголь­ников и 12 пятиугольников, или из 131 и 12?

А.С.: Да, надо подумать и аккуратненько вклеить эти наши 12 пятиугольников.

Слушатель: А связано ли это с количеством сторон в пяти­угольнике и в шестиугольнике?

А.С.: Безусловно. Терпение, доказывать этот факт мы будем позже. Пока что нам нужна подготовительная работа, проделан­ная математиком Эйлером. Леонард Эйлер обнаружил следующий факт. Что такое многогранник. каждый понимает. Любой много­гранник это как бы изломанная поверхность шара. Эйлер нари­совал многогранник на шаре: спроецировал ребра и вершины мно­гогранника. лежащего внутри шара, на поверхность шара. (Слово «спроецировал» означает следующую процедуру: расположил вну­три стеклянного шара макет многогранника, сделанный из прово­лочек. и зажег в центре шара маленькую лампочку. На поверхно­сти шара будут видны тени от ребер это и есть проекции ребер.)

И с помощью этого приема доказал замечательную теорему с совершенно удивительной формулировкой. Называется теорема «Формула Эйлера для многогранника».

Пусть у многогранника будет: В количество вершин. Р количество ребер. Г количество граней. Эти количества мож­но непосредственно подсчитать, глядя на модель многогранника. Тогда обязательно будет

В^Р + Г = 2.

Независимо от того, какой мы взяли многогранник. Теорема верна и для куба, и для тетраэдра (рис. 26). и для любого другого мно­гогранника. имеющего границей «изломанную поверхность шара». Всегда это выражение будет равно 2.

Тетраэдр это любая треугольная пирамида. Раньше в такой форме делали молочные пакеты. Давайте посчитаем у молочного

пакета количество вершин, ребер и граней. Сколько вершин у мо­лочного пакета?

Слушатель: 4.

А.С.: В = 4. Сколько ребер у нашего тетраэдра?

Слушатели: 6.

А.С.: Без сомнения. А граней?

Слушатели: 4.

А.С.: Верна формула? 46 + 4 = 2. Верна.

А теперь рассмотрю другую пирамидучетырехугольную (рис. 27).

У нее 5 вершин, 8 ребер и 5 граней. Формула верна: 5^8 + 5 = 2. Слушатель: А количество вершин и граней всегда совпадает? А.С.: Нет, ни в коем случае не всегда. Давайте посмотрим на куб (рис. 26, слева).

У обычного куба8 вершин, 12 ребер и 6 граней. (Бывают еще и необычные кубы... например, 4-мерные.)

Снова получаем два: 812 + 6 = 2.

Никуда от этой формулы не денешься. Думаю, что до Эйлера эту закономерность тоже кто-то замечал, но важно не первым за­метить, а громко об этом заявить. Так сказать, довести до сведения широких масс.

Не буду сегодня ничего больше доказывать. Вместо этого я рас­скажу о некоторых великих математических загадках прошлого.

Давайте вспомним формулу для решения квадратного уравне­ния с коэффициентами а, Ь, с:

_ ± %/fo²4ас ^Ж_ 2а '

На самом деле не очень важно, как конкретно она выглядит. Важно то, что этоуниверсальный метод решения квадратного уравне­ния. Какие бы они ни были, эти а, Ъ и с, если действие произвести, вы получите какое-то число.

Тут есть две точки зрения на эту ситуацию. Если написа­на некоторая формула, то она может случайно оказаться верной для каких-то чисел а, Ь, с, то есть для какого-то квадратного трех­члена. Для одного случайно оказалась верной, для другого ока­залась верной. Сколько раз нужно проверять, чтобы точно ска­зать, что она всегда верна? Бесконечное количество раз. Но можно сделать иначе. Можно взять эту формулу, подставить в исходное уравнение

ах² + Ьх + с = О

и убедиться в том, что всё сократится, и вместо символов а, Ь, с слева возникнет ноль. Это и будет означать, если мы верим в язык символов, что формула верна. У нас всё сократилось, в любом случае, какие бы а, Ь, с мы ни взяли.

Слушатель: Простите, а для чего нужна эта формула?

А.С.: Для чего она нужна? Ну, я бы сказал так. Лично для ме­ня ответ такой: для красоты. Для того, чтобы быть уверенным, что математика может дать какие-то универсальные рецепты вычисле­ний. Сейчас, конечно, компьютеры решают задачи посложнее этого уравнения, но раньше она была нужна для быстрого вычисления.