Вы распределяете земельные участки, измеряете какие-то прямоугольные куски, у вас получается квадратное уравнение. Можно медленно прикидывать, как это сделать, а можно быстро получить ответ.
Слушатель: То есть практическое применение какое-то было?
А.С.: Ну, раньшеда. Дальше эта идея развивалась так. А что, если я напишу уравнение:
аж3 + Ьх2 + сх + d = О?
Могу я написать универсальную формулу, с помощью которой можно вычислить ж? При этом разрешается складывать, вычитать, умножать, делить и даже извлекать корни, причем любой степени. Но больше ничего не разрешается.
Слушатель: От куба и дальше такого сделать нельзя.
А.С.: Можно; но эту формулу не изучают в школе. Формула для кубического случая была придумана в первой половине XVI века. Несколько математиков работали над этой проблемой одновременно. Сейчас формула носит имя Джироламо Кардано, но он не придумал ее, а опубликовал метод другого математика (т. е. «громко об этом заявил»).
Чтобы выписать эту формулу, мне понадобится целая доска, поэтому я не буду этого делать. Как только поняли механизм решения кубического уравнения, сразу придумали формулу для решения уравнения четвертой степени. Она была еще страшнее. Вывел ее ученик Кардано, по фамилии Феррари. Всё это происходило в XVI веке, когда математики уже свободно обращались с буквами, поэтому был сформулирован самый общий вопрос. Можно ли написать формулу для решения уравнения произвольной степени:
апхп + an-ixn+ ... + a,Q = О
(ап,ап-1,...известные числа. Так обозначают для удобства. А то вдруг не хватит букв алфавита для их обозначения?)?
Пусть она займет 10 досок, пусть она займет 100 досок. Погоня за этой формулой продолжалась до конца XVIII века. А в самом начале XIX века прозрение спустилось на несколько человек сразу, из которых самым главным я считаю французского математика Эвариста Галуа (хотя первым ситуацию в общих чертах осознал Жозеф Луи Лагранж). Было доказано, что никакая конечная формула не может быть решением уравнения произвольной степени. Такой формулы не существует. Не потому, что люди еще глупые или не все формулы перебрали или, может быть, они не так ставили корни. Никакое выражение, содержащее плюс, минус, умножить, разделить и извлечь корень любой степени не может при подстановке в уравнение апхп + а_\хп^1 + ... + ао = О полностью сократиться. Этоматематически строгий результат начала XIX века7.
Еще очень известна теорема Ферма. Доказательство теоремы Фермаэто примерно 120 страниц трудного текста для очень посвященного человека.
Про нее мы поговорим потом, а сейчас просто запишем ее формулировку. Она очень простая.
Ни для каких целых чисел ж, у, г, отличных от нуля, и никакого натурального п, большего 2, не может выполняться равенство:
хп + уп = zn.
Эту теорему доказывали с 1637 по 1994 год. Впоследствии были решены еще две или три величайшие математические проблемы прошлых веков. Сейчас математика пожинает плоды всего своего существования.
Слушатель: Это сделано с помощью компьютеров?
А.С.: Нет. Единственное, что сделали с помощью компьютераэто так называемая «проблема четырех красок». XX векпрорыв в авиации, в космосе. Но самый большой прорыв в это время был в математике. В ней перевернули всё вверх дном: сняли кучу гипотез, превратили их в теоремы. На моей памяти сняли несколько проблем, которые стояли веками, если не тысячелетиями.
Слушатель: А это правда, что у теоремы Ферма нет практического применения?
А.С.: А кто его знает? Она (точнее, метод ее доказательства) может иметь некоторое отношение к физической модели мира. На самом деле, последнее, что интересно математику, это то, какое у теоремы практическое применение. Математика в каком-то смысле сродни настоящей религии. Это вещь в себе. Если она кому- то помогает, математиков это особо не интересует. Люди, которые занимаются прикладной математикой, имеют совершенно другое настроение. Этодругие люди. Как, например, разнятся между собой учителя и чиновники. То же самое с математиками. Человек, который формулу ищет, и человек, который хочет с помощью нее что-то сделать,это два разных человека.
На этом мы закончим первую лекцию. На следующем занятии мы будем доказывать теорему про футбольный мяч и формулу Эйлера.
Лекция 2
А.С.: Сегодня мы займемся тем, что называется топологией. Многие считают ее центральной наукой в математике. Математикаэто центральная наука во всех науках. Топология получается тогда как бы «центром внутри центра», то есть самой главной дисциплиной. Она сформировалась в начале XX века, и постепенно стало ясно, что она лежит в сердце математики. На простом языке, топологияэто геометрия плюс анализ. А можно сказать и по-другому: тот, кто хочет понять самые глубокие и важные закономерности и геометрии, и математического анализа, должен изучать эти науки с топологической точки зрения.
100 лет назад топология уже достаточно хорошо оформилась, а началась она, наверное, с Эйлера (того самого Эйлера, формулу которого мы сегодня будем с вами изучать). Были сформулированы определения важнейших объектов топологии: линия, поверхность, объём, многомерное прост,ранет,во. Было осознано, что у топологических объектов имеется важное свойство: размерность. Например, линияэто одномерный объект (его можно при этом поместить в 1-мерное пространство, в 2-мерное, в 3мерное и даже в так называемое «4-мерное пространство»). Поверхностьдвумерный объект (он может располагаться в 2мерном пространстве, в 3-мерном, 4-мерном и так далее). Тело, имеющее положительный объёмэто 3-мерный объект; но оно может располагаться в 3-мерном, 4-мерном, 5-мерном... пространствах. Ниже всё это будет рассматриваться в самых простых случаях, поскольку свойства топологических объектов, лежащих в 4-мерном, 5-мерном, 6-мерном... пространствах недоступны непосредственному геометрическому восприятию человека. Может быть, это хорошо, что человек не может совершить даже небольшую и короткую по времени прогулку в «подлинное» 4-мерное пространство. Вернувшись из такой прогулки, этот бедняга мог бы с ужасом обнаружить, что сердце у него теперь находится не с левой, а с правой стороны (и ему, кроме того, придется примириться с тем фактом, что он стал левшой, хотя ранее им не был). Так
что с 4-мерным пространством шутки плохи. Но и в 3-мерпом пространстве (казалось бы, так хорошо нам знакомом) топология сумела обнаружить ряд совершенно сногсшибательных фактов. Приступим же к ее изучению (конечно, на общеописательном уровне, не достигая стопроцентной строгости изложения).
Допустим, у вас есть глобус, или футбольный мяч, или арбуз. Это объекты по сути разные, а по форме они одинаковые. Как говорится на житейском языке, это тела, которые имеют форму шара. Однако с точки зрения топологии арбуз резко отличается от глобуса и от футбольного мяча: арбуз внутри заполнен веществом, а глобус и мяч внутри пустые. Разумно считать, что толщина картонной поверхности глобуса и толщина оболочки мяча имеют нулевую толщину. Тогда глобус и мяч являются двумерными объектами, а арбузтрехмерным. Но можно мысленно рассматривать поверхность арбузаполучится «двумерный объект, ограничивающий исходный трехмерный арбуз». Ниже мы будем говорить просто о поверхности шара (неважно, какого диаметра). Допустим, что мяч имеет диаметр 20 см, поверхность арбузадиаметр 50 см, а глобус200 см. Для лучшего понимания, что такое топология, рассмотрим также кубик со стороной 20 см, склеенный из бумаги, и таких же размеров кубик, сделанный из кусочков проволоки, идущих вдоль ребер куба. Итого у нас имеется пять объектов. С общежитейской точки зрения их можно разделить на две группы«круглые» (3 шт.) и «кубообразные» (2 шт.). С точки зрения человека, привыкшего всё измерять сантиметром (например, портного), их надо разделить на две группы по другому принципу: «предметы с размерами порядка 20 см» (3 шт.) и «более крупные предметы» (2 шт.). А с точки зрения математика-тополога, здесь имеются четыре абсолютно одинаковых предмета и один особенный (а именно, проволочный куб). И тополог даже даст обоснование, почему он так считает: первые четыре объекта являются двумерными, а последний объектодномерный. Таким образом, топология не только не видит разницы между поверхностью шара диаметра 20, 50 или 200 см, по и не видит, разницы, между поверхностью куба и поверхностью шара! Итак, тополог надевает на себя «волшебные очки», которые не позволяют определить ни размеры, ни форму предметов. Что же он тогда через них сможет разглядеть? Он сумеет разглядеть самое глубинное отличие представленных ему предметов друг от друга, их, так сказать, конструкцию. Например, добавим к этим пяти предметам еще и бублик с внешним диаметром 20 см и будем интересоваться не самим бубликом, заполненным тестом, а только его поверхностью. А также добавим обыкновенное кольцо из проволоки (диаметром 1 см). Что скажет тогда тополог? «С точки зрения размерности здесь имеется два типа объектов: двумерные и одномерные. Но поверхность бублика резко, принципиально отличается от поверхности шара. Точно так же проволочный кубик резко отличается от кольца из проволоки. Итак, здесь представлены четыре различных топологических типа: поверхность шара (4 предмета), поверхность бублика, окружность, проволочный кубик».