Конечно, для отождествления это не является противоречием. Мы можем, например, отождествить 10 яблок и 10 уток. Или 200 кресел в кинотеатре и 200 зрителей. Но при этом следует помнить, что равны не они сами по себе, а их количества. В доказательстве Кантора, вроде бы, так и говорится, что равны мощности, равны количества. Однако преподносится это так, что создается впечатление, будто эти сравниваемые множества равны не только по своим количествам, мощности, но и равны буквально точка на линии тождественно равна точке на квадрате. При таком подходе можно отождествить любые бесконечности, просто отбросив их качество и оставив лишь безликое количество. Все зависит только от искусства отождествителя. Приведём простой пример.
Точки любой линии на плоскости характеризуются двумя координатами. Точно так же и в рассмотренном примере все точки линии имеют две координаты, одна из которых просто равна нулю. Теперь становится ясным, почему мы обратили внимание на замечание "для простоты мы не берем". На самом деле в таком упрощении преследовалась цель упростить организацию подмены понятий. Ведь если у линии признать наличие имеющейся на самом деле второй координаты, то и для неё пришлось бы также формировать комбинированное число индекс. Действительно, если вернуть в рассмотрение и стороны квадрата, то одна из них совпадет с отождествляемой линией. В этом случае надо было бы веско обосновать, почему координаты нижней стороны квадрата преобразуются в число z, а линия, полностью совпадающая с этой стороной, по-прежнему описывается одной координатой, хотя у неё однозначно имеется и вторая, нулевая?
Ясно, что разумные обоснования этого просто невозможны. Если же вернуть линии её законные права на вторую, нулевую координату, то все её собственные числа z будут начинаться с нулевого знака. То есть, с линией можно будет отождествить только одну единственную линию квадрата его нижнюю сторону. Соответственно, мощность множества точек линии окажется меньше мощности точек квадрата в счетное число раз, то есть, в бесконечное. Мощность множества точек квадрата имеет более высокий порядок. Просто результат зависит от способа подсчета и может быть на любой вкус. Два способа мы уже увидели. Рассмотрим еще один.
Рассмотрим эти два объекта в единой метрической системе единиц, в которой размер точки квадрата равен размеру точки линии. Это естественное разумное предложение: бессмысленно приравнивать, скажем, два куска золота, размеры которых неизвестны. Длина стороны квадрата равна a, следовательно, метрически он содержит a2 точек. Отрезок по этой же причине содержит a метрических точек. Другим словами, квадрат и линия метрически тождественны. Тогда линия длиной na будет содержать заведомо больше точек, чем квадрат, если n > a.
Такой же результат можно получить и иначе. Возьмем тот же квадрат и разделим его на 4 части. Нижний ряд, два вновь образовавшихся квадрата назовём условно линией. Пока эти два квадрата, понятно, на линию не похожи.
Теперь разделим эти 4 квадрата ещё на 4 части каждый. Нижний ряд из 4 квадратов по-прежнему будем считать линией. Затем вновь каждый квадрат разделим крестом на 4 части. Теперь уже нижний ряд из 8 мелких квадратов отдаленно напоминает некую линию. Посчитаем, отношение количества этих квадратиков в исходном квадрате к их количеству на прообразе линии. По пройденным шагам деления эти отношения равны: 2, 4, 8. Легко обнаружить, что эти отношения будут возрастать по мере дальнейшего деления квадратов по уравнению 2n × 2n. Каждый из сомножителей означает, соответственно, деление по вертикали и по горизонтали. Продолжим такое же деление до бесконечности: n .
Очевидно, что все квадратики станут бесконечно малыми, превратятся в точки и исчезнут из видимости. При этом и линия станет тем, чем мы её обычно и представляем линией с нулевой толщиной. Что важно, в этом случае и квадрат и линия состоят из одинаковых точек. И количества этих точек будут для квадрата 2n × 2n, для линии 2n. Отношение количеств или мощностей точек квадрата к точкам линии будет равно 2n. При увеличении числа шагов деления до бесконечности отношение также увеличится до бесконечности. Это значит, что мощность множества точек квадрата имеет более высокий порядок, чем мощность множества точек отрезка. Конечно, этот способ относится более к алгебре, чем к геометрии, но поэтому в нём и подмены с отождествлением скрыть труднее.