В эпоху султана Малик-шаха город еще расширился, украсился нарядными архитектурными сооружениями. Великолепные сады, разбитые в Исфахане в эти годы, поэты не раз воспевали в стихах. Малик-шах придал своему двору небывалое еще для иранских династий великолепие. Средневековые авторы красочно описывают роскошь дворцового убранства, пышные пиршества и городские празднества, царские забавы и охоты. При дворе Малик-шаха был огромный штат придворных: кравчих, оруженосцев, хранителей одежд, привратников, стражей и большая группа поэтов-панегиристов во главе с одним из самых крупных одописцев XI века - Муиззи (1049 - ум. между 1123 и 1127).
В годы правления султана Малик-шаха Исфахан становится животрепещущим сердцем страны, здесь рождаются и разрабатываются многие важные социально-административные и культурные реформы. Созидательная государственная деятельность и широкие просветительские преобразования, которыми отмечены эти десятилетия, характеризуемые историками как период наивысшего подъема сельджукидского государства, были обязаны не султану Малик-шаху (который вряд ли владел даже элементарной грамотностью), а везиру султана Низам ал-Мулку (1018–1092), выдающемуся политическому деятелю XI века.
Низам ал-Мулк, покровительствовавший развитию науки, открыл в Исфахане, так же как и в других крупнейших городах - Багдаде, Басре, Нишапуре, Балхе, Мерве, Герате, - учебно-научные академии; по имени везира они повсеместно назывались Низамийе. Для исфаханской академии Низам ал-Мулк возвел величественное здание возле самой пятничной мечети и пригласил в Исфахан для преподавания, в ней известных ученых из других городов. Исфахан, славящийся ценнейшими собраниями рукописных книг, обладающий прочными культурными традициями (достаточно упомянуть, что значительную часть своей жизни провел в Исфахане в начале XI века Абу Али ибн Сина (980-1037), гениальный Авиценна, читавший лекции в одном из исфаханских медресе), становится при Низам ал-Мулке активно действовавшим научным центром, с влиятельной группой ученых.
Омар Хайям был приглашен султаном Малик-шахом - по настоянию Низам ал-Мулка - для управления дворцовой обсерваторией. Собрав у себя при дворе "лучших астрономов века", как об этом говорят источники, и выделив крупные денежные средства для приобретения самого совершенного оборудования, султан поставил перед Омаром Хайямом задачу - разработать новый календарь.
В Иране и Средней Азии в XI веке существовало одновременно две календарные системы: солнечный домусульманский зороастрийский календарь и лунный, привнесенный арабами вместе с исламизацией населения. Обе календарные системы были несовершенны. Солнечный зороастрийский год насчитывал триста шестьдесят пять дней; поправка на неучитываемые дробные части суток корректировалась только один раз в сто двадцать лет, когда ошибка вырастала уже в целый месяц. Лунный же мусульманский год в 355 дней был совершенно непригоден в практике сельскохозяйственных работ.
В течение пяти лет Омар Хайям вместе с группой астрономов вели научные наблюдения в обсерватории, и к марту 1079 года ими был разработан новый календарь, отличавшийся высокой степенью точности. Этот календарь, получивший название по имени заказавшего его султана "Маликшахово летосчисление", имел в своей основе тридцатитрехлетний период, включавший восемь високосных годов; високосные годы следовали семь раз через четыре года и один раз через пять лет.
Проведенный расчет позволил временную разницу предлагаемого года по сравнению с годом тропическим, исчисляющимся в 365,2422 дня, свести к девятнадцати секундам. Следовательно, календарь, предложенный Омаром Хайямом, был на семь секунд точнее ныне действующего григорианского календаря (разработанного в XVI веке), где годовая ошибка составляет двадцать шесть секунд. Хайямовская календарная реформа с тридцатитрехлетним периодом оценивается современными учеными как замечательное открытие. Однако она не была в свое время доведена до практического внедрения.
В долгие часы работы в обсерватории, которая была одной из лучших в мире в это время, Омар Хайям вел и другие астрономические исследования. На основании многолетних наблюдений за движением небесных тел он составил "Астрономические таблицы Малик-шаха" - "Зинджи Малик-шахи". Эти таблицы были широко распространены на средневековом Востоке; до наших дней они, к сожалению, не сохранились.
Астрономия в эпоху Омара Хайяма была неразрывно связана с астрологией, последняя входила в число средневековых наук, отличавшихся особой практической необходимостью. Астролог проходил основательную подготовку, он должен был хорошо знать в качестве непременных дисциплин, как об этом пишет один из современников Омара Хайяма, геометрию, науку о свойствах чисел, космографию и систему звездных предзнаменований, то есть искусство составления гороскопов, владеть широким кругом специальной литературы.
Омар Хайям входил в ближайшую свиту Малик-шаха, то есть в число его надимов - советчиков, наперсников и компаньонов, и, разумеется, практиковал при царствующей особе как астролог. Слава Омара Хайяма как астролога-прорицателя, наделенного особым даром ясновидения, была очень велика. Еще до появления его в Исфахане при дворе Малик-шаха знали об Омаре Хайяме как о высшем авторитете среди астрологов. Низами Арузи в упомянутом выше сочинении "Собрание редкостей, или Четыре беседы" рассказывает о том, как астрологи Малик-шаха, заподозренные султаном в сознательном искажении звездных предсказаний, умоляли послать кого-нибудь с их гороскопами в Хорасан, "к великому Омару Хайяму, - что он скажет?". Этот довод тотчас убедил султана в честности и компетентности его придворных звездочетов.
Чтобы представить себе Омара Хайяма в роли астролога, приведем один эпизод, изложенный тем же Низами Арузи; эпизод этот, правда, относится к более позднему периоду жизни Хайяма. "Зимою 1114 года в городе Мерве, - рассказывает Низами Арузи в главе "О науке о звездах и о познаниях астролога в этой науке", - султан послал человека к великому ходже Садр ад-Дин Мухаммаду ибн Музаффару - да помилует его Аллах! - с поручением: "Скажи ходже имаму Омару, пусть он определит благоприятный момент для выезда на охоту, так, чтобы в эти несколько дней не было ни дождя, ни снега". А ходжа имам Омар общался с ходжой и бывал в его доме. Ходжа послал человека, позвал его и рассказал ему о происшедшем. Омар удалился, два дня потратил на это дело и определил благоприятный момент. Сам отправился к султану и в соответствии с этим определением усадил султана на коня. И когда султан сел на коня и проехал расстояние в один петушиный крик, набежала туча, и налетел ветер, и поднялся снежный вихрь. Все засмеялись, и султан хотел уже повернуть. Ходжа имам Омар сказал: "Пусть султан успокоит сердце: туча сейчас разойдется и в эти пять дней не будет никакой влаги". Султан поехал дальше, и туча рассеялась, и в эти пять дней не было никакой влаги, и никто не видел ни облачка".
Запечатленный случай из жизни Омара Хайяма показывает, что он владел знаниями по метеорологии. Как все искусные астрологи, он должен был быть и тончайшим психологом. Рассказ Низами Арузи для нас весьма ценен, так как это - одно из немногих воспоминаний, принадлежащих человеку, лично знавшему Хайяма. Замечательны слова Низами Арузи, предваряющие эпизод с удачным предсказанием: "Хотя я был свидетелем предсказаний Доказательства Истины Омара, однако в нем самом я не видел никакой веры в предсказания по звездам. И среди великих людей никого не видел и не слышал, кто бы доверял предсказаниям". Низами Арузи, придворный поэт, сам нередко выступавший как астролог, заключает приведенный рассказ следующим трезвым суждением: "Хотя предсказание по звездам - признанное искусство, уповать на него не следует. А астрологу надлежит далеко в этой вере не идти и каждое предсказание, кое он делает, поручать судьбе".
В Исфахане, при дворе Малик-шаха, Омар Хайям продолжает занятия математикой. В конце 1077 года он завершает геометрический труд "Трактат об истолковании трудных положений Евклида". Математические сочинения Омара Хайяма - их сохранилось до наших дней два (первое мы упоминали выше - алгебраический трактат, написанный еще в шестидесятые годы) - содержали теоретические выводы чрезвычайной важности. Впервые в истории математических дисциплин Хайям дал полную классификацию всех видов уравнений - линейных, квадратных и кубических (всего двадцать пять видов) и разработал систематическую теорию решения кубических уравнений. Именно Омару Хайяму принадлежит заслуга первой постановки вопроса о связях геометрии с алгеброй. Хайям обосновал теорию геометрического решения алгебраических уравнений, что подводило математическую науку к идее переменных величин. Книги Омара Хайяма долгие века оставались неизвестными европейским ученым, создателям новой высшей алгебры, и они были вынуждены заново пройти долгий и нелегкий путь, который за пять - шесть веков до них уже проложил Омар Хайям.
Еще один математический труд Хайяма - "Трудности арифметики" (содержание этой своей ранней работы, не дошедшей до нашего времени, Хайям излагает в алгебраическом трактате) - был посвящен методу извлечения корней любой степени из целых чисел; в основе этого метода Хайяма лежала формула, получившая впоследствии название бинома Ньютона. Также только по ссылкам, имеющимся в сочинениях Хайяма, известно, что его перу принадлежал оригинальный трактат, разрабатывающий математическую теорию музыки.